卡特兰数

轻谈卡特兰数

      卡特兰数是组合数学中常用到的一个数列；下面是百度百科的定义；

公式

1.另类递推式：

　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)

2.递推关系的解为：

　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

3.递推关系的另类解为：

　　h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

4. h(n)=h(0)×h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)

   其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

 附张图

应用

1、出栈次序：一个栈（无穷大）的进栈次序为1、2、3……n。不同的出栈次序有几种。

            我们可以这样想，假设k是最后一个出栈的数。比k早进栈且早出栈的有k-1个数，一共有h(k-1)种方案。比k晚进栈且早出栈的有n-k个数，一共有h(n-k)种方案。所以一共有h(k-1)*h(n-k)种方案。显而易见，k取不同值时，产生的出栈序列是相互独立的，所以结果可以累加。k的取值范围为1至n，所以结果就为h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)。

            出栈入栈问题有许多的变种，比如n个人拿5元、n个人拿10元买物品，物品5元，老板没零钱。问有几种排队方式。熟悉栈的同学很容易就能把这个问题转换为栈。值得注意的是，由于每个拿5元的人排队的次序不是固定的，所以最后求得的答案要*n!。拿10元的人同理，所以还要*n!。所以这种变种的最后答案为h(n)*n!*n!。

       

     2、二叉树构成问题。有n个结点，问总共能构成几种不同的二叉树。

            我们可以假设，如果采用中序遍历的话，根结点第k个被访问到，则根结点的左子树有k-1个点、根结点的右指数有n-k个点。k的取值范围为1到n。讲到这里就很明显看得出是卡特兰数了。这道题出现在2015年腾讯实习生的在线笔试题中。有参加过的同学想必都有印象。

  

     3、凸多边形的三角形划分。一个凸的n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。

             这也是非常经典的一道题。我们可以这样来看，选择一个基边，显然这是多边形划分完之后某个三角形的一条边。图中我们假设基边是p1pn，我们就可以用p1、pn和另外一个点假设为pi做一个三角形，并将多边形分成三部分，除了中间的三角形之外，一边是i边形，另一边是n-i+1边形。i的取值范围是2到n-1。所以本题的解c(n)=c(2)*c(n-1)+c(3)*c(n-2)+...c(n-1)*c(2)。令t(i)=c(i+2)。则t(i)=t(0)*t(i-1)+t(1)*t(i-2)...+t(i-1)*t(0)。很明显，这就是一个卡特兰数了。

这个并不是我写的，参考http://www.cnblogs.com/code-painter/p/4417354.html

例题

https://www.luogu.org/problem/show?pid=1044

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，

1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）

2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）

输出格式：

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目

输入输出样例

输入样例#1：3输出样例#1：5

我写的题解

这题的深搜算法！！！

经典的求出栈情况的卡特兰数

栈要有进才能有出，设进为0，出为1；

那么每个1前必有一个0；

所以,

n=1时 方法数s=1 （01）

n=2时 方法数s=2 （0011，0101）

n=3时 方法数s=5 （000111，001011，001101，010011，010101）

………………

也就是h（n）=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+……+h(n-1)*h(0)

但按这递推模拟的话，最后一个点会吃TLE；

所以蒟蒻我将前后对称的就乘2处理（值一样）

特判奇偶，分情况处理（奇数中间不用*2）

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int work(int n){    int s=0;    if ((n==1)||(n==0)) return 1;    int k=n%2;      for(int i=0;i<n/2;i++)        s+=2*work(i)*work(n-1-i);    for(int i=1;i<=k;i++)      s+=work(n/2)*work(n/2);    return s;}int main(){    int n;    cin>>n;    cout<<work(n);    return 0;}