输油管道的实现

问题描述：

某石油公司计划建造一条由东向西的主输油管道。该管道要穿过一个有n口油井的油田。从每口油井都要有一条输油管道沿最短路经(或南或北)与主管道相连。如果给定n口油井的位置,即它们的x坐标（东西向）和y坐标（南北向）,应如何确定主管道的最优位置,即使各油井到主管道之间的输油管道长度总和最小的位置?证明可在线性时间内确定主管道的最优位置。

«编程任务：

给定n口油井的位置,编程计算各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和。

 

示例：若ｎ＝５，各油井坐标分别为：(1,2)，(2,2)，(1,3)，(3,-2)，(3,3)，主管道的最优位置的ｙ坐标为２，各油井到主管道之间的输油管道最小长度总和为６。

 

解题思路：

(1) 如何确定主管道的最优位置？

由于主管道是由东向西，显然，主管道的铺设位置只和各油井位置的y坐标有关，设各个油井的y坐标为： ，主管道的y坐标为：y，各油井到主管道之间的输油管道长度总和应是： ，要使这个值最小，主管道的位置y坐标应是各个油井y坐标的中位数。

证明(反证法)：

①油井数目为奇数：假设主管道的最优位置ｙ坐标值为y_val,不是各个油井位置ｙ坐标的中位数y_median，我们可以假设y_val>y_median(不失一般性)，ｙ坐标小于y_val的油井数目为m,ｙ坐标大于y_val的油井数目为n，显然有m>n。当我们将主管道位置下移距离x时(假设此时仍满足y_val>=y_median)，各油井到主管道之间的输油管道长度总和应增加nx-mx，显然nx-mx<0(m>n)，即存在一个比y_val更优的位置使得各油井到主管道之间的输油管道长度总和更小，这与假设矛盾。

②油井数目为偶数：证明情况同奇数情况。不同的是主管道的最优位置y坐标可以是各油井ｙ坐标的两个中位数之间的任一整数。

(2)算法实现及问题。

由于书上求第ｋ小元素的算法可以在O(n)时间内完成。因此我们可以直接采用该算法来实现求各油井中位数。

#include<iostream>

#include<math.h>///这是fabs的头文件
#include<algorithm>///这是sort的头文件
#include<stdlib.h>
using namespace std;


void Init(int **y,int n)///初始化一维数组A,个数就是等差数列
{
  (*y)=(int*)malloc(sizeof(int)*(n*(n+1)/2));
}


void Delete(int *A)///销毁
 {
     free(A);
 }


void Input(int *y,int n)///输入油管道的x轴和y轴坐标（因为距离与x轴无关，所以可以把y【i】当做x进行输入）
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>y[i];///相当于输入x
        cin>>y[i];///相当于输入y
    }
}


int  Mid(int *y,int n)///进行排序并找出的中位数
{
    sort(y,y+n);///进行排序
    return y[n/2];///找出中位数
}


int main()
{
    int *y;
    int sum=0;///为输油管道的长度总和的最小位置
    int n;///表示输油管道的n个油井数
       cout<<"********************************************************"<<endl;
       cout<<"请输入输油管道的n个油井数为:"<<endl;
       cin>>n;
       Init(&y,n);
       cout<<endl<<"输入输油管道的每一个(x,y)坐标如下"<<endl;
       Input(y,n);
       int mid=Mid(y,n);///中位数
       for(int i=0;i<n;i++)///让输入的每个点的y轴与中位数进行相减
       {
       sum+=(int)fabs(y[i]-mid);/**这是求浮点数绝对值的函数*/
       }
       cout<<endl<<"输出输油管道的长度总和的最小位置为:"<<endl;
       cout<<sum;
       cout<<endl<<"********************************************************"<<endl<<endl<<endl;
       Delete(y);
       return 0;

}