2-3 棋盘覆盖 | 分治

棋盘覆盖问题

棋盘覆盖分析 (步骤化PPT)

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划分：将 2k∗2k 的棋盘划分为 2k−1∗2k−1 这样的子棋盘4块。
求解：递归填充各个格子，填充分为四个情况（见后文），递归出口为k=0也就是子棋盘方格数为1。
合并：不需要合并子问题。

解决方案

就是利用分治法，将方形棋盘分成4部分，如果该特殊点在某一部分，我们就去递归他，如果不在某一部分，我们假设一个点为特殊点，同样递归下去，直到全覆盖。

左上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右下角的那个方格假设为特殊方格；右上角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左下角的那个方格假设为特殊方格；左下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘右上角的那个方格假设为特殊方格；右下角的子棋盘（若不存在特殊方格）：则将该子棋盘左上角的那个方格假设为特殊方格；

数据结构

• 棋盘 —— 使用二维数组表示；int board[size][size];，令 size = 2k，表示棋盘的规格。为方便调用，将board设为全局变量，board[0][0]是左上角方格。
• 子棋盘 —— 由棋盘左上角的坐标tr,tc和棋盘大小s表示。
• 特殊方格 —— 坐标位置为（dr,dc）。
• L型骨牌 —— 用到L型骨牌个数为 (4k−1)/3，将所有骨牌从1编号，用全局变量表示。static int tile = 1;

代码实现

#include#includeusing namespace std;int board[1025][1025]; // 棋盘 static int tile = 1;   // 骨牌编号   /**  * (tr,tc) : tr棋盘左上角的行号，tc棋盘左上角的列号  * (dr,dc) : dr特殊方格左上角的行号，dc特殊方格左上角的列号  * size ：size = 2^k 棋盘规格为2^k*2^k  */ void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size){if(size==1) return ; // 递归边界int t=tile++;        // L型骨牌编号 int s=size/2;        // 分割棋盘 // 覆盖左上角子棋盘if(dr=tc+s) // 特殊方格在此棋盘中 ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);else {// 用编号为t的骨牌覆盖左下角  board[tr+s-1][tc+s]=t;ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);}// 覆盖左下角子棋盘  if(dr>=tr+s && dc=tr+s && dc>=tc+s)ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);else {// 用编号为t的骨牌覆盖左上角  board[tr+s][tc+s]=t;ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);}}  int main(){int i,j;int k;while(cin>>k){int size = 1<>x>>y;  board[x][y]=0;ChessBoard(0, 0, x, y, size);for(i=0; i
时间复杂度分析
设T(k)为覆盖棋盘的时间。从分治策略可知递推式： 
T(k)={O(1),4T(k−1)+O(1),k=0k>0
 
解可得 T(k)=O(4k)。（n=2k,n2=4k）。这是一个渐进意义下的最优算法。