#439 Div.2 C. The Intriguing Obsession 组合数学

原题链接：
C. The Intriguing Obsession

大意:
有若干个小岛，由三种颜色组成，现在在小岛之间添加桥，桥的长度为1，要求相同颜色的小岛之间的路长度不小于三，求有多少的方法。

思路：
可以看成一个三棱柱，每条棱代表一个颜色，易得棱上没有线段相连，那么考虑一个面上的线段连法。易得 不能有两个 A 棱上的点同时连到 B棱上的相同点。 线段数 i 从 0~min(a,b) ,对于 i，从 A 棱上选取点有C(a,i) 种，B 上取点有 C(b,i) 种 ，选取点后排列有 i！ 种，所以一个面上种数为：

∑i=0min(a,b)C(a,i)×C(b,i)×i!

对于三个面乘法原理即可。
具体实现：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair <int,int> pii;#define mem(s,t) memset(s,t,sizeof(s))#define D(v) cout<<#v<<" "<<v<<endl#define inf 0x3f3f3f3f#define pb push_back//#define LOCALconst int mod=998244353;const int MAXN =5e3+10;//O(n)的算法ll F[MAXN], Finv[MAXN], inv[MAXN];//F是阶乘，Finv是逆元的阶乘void init(){    inv[1] = 1;    for(int i = 2; i < MAXN; i ++){        inv[i] = (mod - mod / i) * 1LL * inv[mod % i] % mod;    }    F[0] = Finv[0] = 1;    for(int i = 1; i < MAXN; i ++){        F[i] = F[i-1] * 1LL * i % mod;        Finv[i] = Finv[i-1] * 1LL * inv[i] % mod;    }}ll C(ll n, ll m){    if(m < 0 || m > n) return 0;    return F[n] * 1LL * Finv[n - m] % mod * Finv[m] % mod;}//计算ll calc(ll a,ll b){    ll ret=0;    if(a<b) swap(a,b);    for(ll i=0;i<=min(a,b);i++){        ret+=C(a,i)*C(b,i)%mod*F[i];        ret%=mod;    }    return ret;}int main() {#ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);#endif    ll a,b,c;    cin>>a>>b>>c;    init();    ll ans=calc(a,b)*calc(b,c)%mod*calc(a,c)%mod;    cout<<ans<<endl;    return 0;}

自己写的阶乘逆元 O(n)

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair <int,int> pii;#define mem(s,t) memset(s,t,sizeof(s))#define D(v) cout<<#v<<" "<<v<<endl#define inf 0x3f3f3f3f#define pb push_back//#define LOCALconst int mod=998244353;const int MAXN =5e3+10;ll inv[MAXN],fac[MAXN];ll quick_mod(ll a,ll b){    ll ret=1;    a%=mod;    while(b){        if(b&1) ret=ret*a%mod;        b>>=1;        a=a*a%mod;    }    return ret;}void init(){    mem(inv,0);    mem(fac,0);    fac[0]=fac[1]=1;    for(ll i=2;i<MAXN;i++) fac[i]=i*fac[i-1]%mod;    inv[MAXN-1]=quick_mod(fac[MAXN-1],mod-2);    for(ll i=MAXN-2;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;}ll C(ll a,ll b){    if(b>a) return 0;    return fac[a]*inv[a-b]%mod*inv[b]%mod;}//计算ll calc(ll a,ll b){    ll ret=0;    if(a<b) swap(a,b);    for(ll i=0;i<=min(a,b);i++){        ret+=C(a,i)*C(b,i)%mod*fac[i];        ret%=mod;    }    return ret;}int main() {#ifdef LOCAL    freopen("in.txt","r",stdin);    freopen("out.txt","w",stdout);#endif    ll a,b,c;    cin>>a>>b>>c;//    D(11);    init();    ll ans=calc(a,b)*calc(b,c)%mod*calc(a,c)%mod;    cout<<ans<<endl;    return 0;}