MIT18.06线性代数课程笔记8：求解Ax=b、矩阵的秩以及矩阵的逆

课程简介

18.06是Gilbert Strang教授在MIT开的线性代数公开课，课程视频以及相关资料请见https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/index.htm。

课程笔记

1. 求解Ax=b

这里涉及两个问题：1. 是否有解 2. 如何求解

1.1. 是否有解

有两种方法：1. b∈C(A)⇔∃x∈Rn,Ax=b, where Am×n 2. 对增广矩阵消元，b所在列不是pivot column。

对于第一种方法，如MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space所述，Ax是A的列向量的线性组合，所以Ax∈C(A)，而且∀v∈C(A),∃x,Ax=c。由此可证明第一个方法。但是这只是理论上的结论，实际应用中不如消元法方便。

如MIT18.06线性代数课程笔记7：使用消元法求解Null space中所述，对矩阵A消元，A=LU，可以得到pivot column和free column，且有任意free column都可以表示为所有pivot column的线性组合（更严格的结论是任意free column都可以表示为之前列的线性组合）。证明也很容易，因为if c=Ax⇔Ec=EAx，since E is invertible。所以对增广矩阵[A|b]做消元，即E[A|b]=[U|b′]，若u′i=0，即U的第i行为0，b′i≠0，则Ax=b无解，因为b′是[U|b′]的pivot column。所以b′∉C(U)。

1.2. 如何求解

如果有解的情况下如何求解的问题在MIT18.06线性代数课程笔记6：vector space，subspace，column space，null space有所阐述。具体地，就是先求解一个特解xp，xp的获取比较随意，常用方法是对增广矩阵做消元之后令free column取0，这样就可以得到唯一解。然后因为∀x∈Rn,Ax=b⇒A(x−xp)=0⇒x−xp∈N(A)，固所有解集为{x:x=xp+xn,∀xn∈N(A)}。至于N(A)的求解方法详见MIT18.06线性代数课程笔记7：使用消元法求解Null space，简单的说就是令free column取值为n−r个线性无关的基向量，然后求解Ax=0，得到n−r个N(A)的基向量。

2. 矩阵的秩

矩阵的秩现在的定义是消元后主元的个数，也是pivot column的个数，使用r表示。

设Am×n，容易证明r≤m,r≤n。

并且通过r与n,m的关系，可以判断矩阵是否有解，以及解集的维数。

2.1. r==m⇒必定有解

笔者想到两种证明方法，一是U中不存在零行，所以任意b′都可以；二是有m个pivot column，即有m个线性无关基向量，其线性组合遍布整个Rm。

2.2. r==n⇒有解必然唯一解

行满秩的情况下，没有free column，所以N(A)={0⃗ }，解集为{xp}。

但是不一定有解，因为n个m维向量构成的子空间维度为n，不遍布Rm。对于大多数的b都无解。

2.3. r==m==n⇒有解且唯一解

行列均满秩的情况下，由上诉两个结论可知有解且唯一解。

2.4. 秩与可逆的关系

目前只讨论左逆元，即A−1A=I，则有只有r==n时有逆元。即列满秩是A存在左逆元的充要条件。

1. 列满秩⇒A有左逆元

   如上所述，因为列满秩，所以∃E,EA=[I0]。即∃E1,E2,[E1E2]A=[I0]⇒∃E1,E1A=I。E1即为A−1，所以A存在左逆元。

2. A有左逆元⇒列满秩

   因为r(A−1A)=n≤r(A)≤n⇒r(A)=n。

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