一类关于括号匹配的问题 区间dp

1。询问最大匹配个数。POJ 2955
例题：给你一串()[]括号，要你求出这串括号的最大匹配个数，如’(‘与’)’匹配，为2个，’[‘与’]’匹配，为2个，其他不能匹配…….

题解：
就是区间dp。
dp[i][j]表示区间i到j中最大的匹配个数，转移的时候枚举k,(i

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<string>using namespace std;const int N = 100 + 5;char s[N];int dp[N][N];string a="end";bool check(int l,int r){    return (s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']');}int main(){    while(1){        scanf("%s",s);        if(s==a) break;        int n=strlen(s);        for(int i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i-1];        memset(dp,0,sizeof(dp));        for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][i]=0;        for(int len=2;len<=n;++len){            for(int i=1;i+len-1<=n;++i){                int j=i+len-1;                for(int k=i;k<=j;++k){                    if(check(i,k))                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][k-1]+dp[k+1][j]+1);                    else dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);                }                       }        }        printf("%d\n",dp[1][n]<<1);    }    return 0;}

2。关于方案数的统计。
给出长度为N的括号序列（只包含(,),[,]），问有多少种方法删掉这些括号的一个子集，使得剩下的括号序列是合法的，请注意不能全部删完。

题解：用dp[i][j]表示i到j中删掉之后合法的方案数。
dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i+1][k-1]*dp[k+1]j

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#define ll long longusing namespace std;const int N = 300 + 10;const int mod = 1000000007;int n;char s[N];ll dp[N][N][2];bool check(int l,int r){    if((s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']')) return true;    return false;}ll f(int l,int r,bool status){    if(dp[l][r][status]!=-1) return dp[l][r][status];    if(l>r) return dp[l][r][status]=1;    if(l==r) return dp[l][r][status]=status;        ll ans=0;    ans=(ans+f(l+1,r,status))%mod;    for(int k=l;k<=r;++k){        if(check(l,k)){            ans=(ans+1LL*f(l+1,k-1,1)*f(k+1,r,1)%mod)%mod;        }    }    ans%=mod;    return dp[l][r][status]=ans;}int main(){    freopen("parenthesis.in","r",stdin);    freopen("parenthesis.out","w",stdout);    scanf("%d",&n);scanf("%s",s+1);    memset(dp,-1,sizeof(dp));    cout<<f(1,n,0)<<endl;    return 0;}

3.添加最少的括号使原序列合法，输出路径。POJ 1141
题解：如果只是单纯的问最少添加的括号，可以使用n（序列长度）-问题1的答案。但要输出路径。
我们再用一个数组pos[i][j]表示下标i到下标j之间断开的位置，pos[i][j]为0表示i直接与j匹配。
即在枚举k的时候，用dp[i][j]记录下断开的位置k，（在k处断开有最优解）
最后递归输出。
如果l>r 边界，返回。
如果l==r （递归边界） dp[l][r]=1，至少需要加一个括号，则根据s[l]输出合法的一对括号。
如果pos[l][r]==-1 即l和r匹配最优，则先输出s[l]，再递归输出（l+1,r-1）的情况，再输出s[r].
如果pos[l][r]！=-1 即l和r中间断开一下比较优，则递归处理（l，pos[l][r]）和(pos[l][r]+1,r)
update：10.29 poj简直。。太严格了，没输出换行符就是WA

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<iostream>#include<string>using namespace std;const int N = 100 + 5;char s[N];int dp[N][N],pos[N][N];bool check(int l,int r){    return ((s[l]=='('&&s[r]==')')||(s[l]=='['&&s[r]==']'));}void print(int l,int r){    if(l>r) return ;    if(l==r){        if(s[l]=='('||s[l]==')') printf("()");        else printf("[]");        return ;    }    if(pos[l][r]==-1){        printf("%c",s[l]);        print(l+1,r-1);        printf("%c",s[r]);        return ;    }    print(l,pos[l][r]);    print(pos[l][r]+1,r);}int main(){    while(gets(s)){        int n=strlen(s);        for(int i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i-1];        memset(dp,63,sizeof(dp));        memset(pos,-1,sizeof(pos));        for(int i=1;i<=n;++i) dp[i][i]=1,dp[i][i-1]=0;        //边界情况的处理！！！         for(int len=2;len<=n;++len){            for(int i=1;i+len-1<=n;++i){                int j=i+len-1;pos[i][j]=-1;                if(check(i,j)) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];                for(int k=i;k<j;++k){                    if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j])                    dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j],pos[i][j]=k;                }            }        }        print(1,n);        printf("\n");    }    return 0;}