BZOJ-5091 (概率期望)

题目

BZOJ5090
5091: 摘苹果
Time Limit: 1 Sec Memory Limit: 256 MB

Description

小Q的工作是采摘花园里的苹果。在花园中有n棵苹果树以及m条双向道路，苹果树编号依次为1到n，每条道路的两
端连接着两棵不同的苹果树。假设第i棵苹果树连接着d_i条道路。小Q将会按照以下方式去采摘苹果：
1.小Q随机移动到一棵苹果树下，移动到第i棵苹果树下的概率为d_i/(2m)，但不在此采摘。
2.等概率随机选择一条与当前苹果树相连的一条道路，移动到另一棵苹果树下。
3.假设当前位于第i棵苹果树下，则他会采摘a_i个苹果，多次经过同一棵苹果树下会重复采摘。
4.重复第2和3步k次。
请写一个程序帮助计算小Q期望摘到多少苹果。

Input

第一行包含三个正整数n,m,k(n,k<=100000,m<=200000)，分别表示苹果树和道路的数量以及重复步骤的次数。

第二行包含n个正整数，依次表示a_1,a_2,…,a_n(1<=a_i<=100)。
接下来m行，每行两个正整数u,v(1<=u,v<=n,u!=v)，表示第u和第v棵苹果树之间存在一条道路。

Output

若答案为P/Q，则输出一行一个整数，即P*Q^{-1} mod 1000000007(10^9+7)。

Sample Input

3 4 2
2 3 4
1 2
1 2
2 3
3 1

Sample Output

750000011
//期望为5.75=23/4=(23*250000002) mod 1000000007=750000011。

分析

• 对于这种求期望的，记住一点和的期望等与期望的和
• 对于每个点，我们可以证出在它那里摘的概率是
• k∗∑i=1ndi∗ai2∗m
• 可以分类看第一步走到它，第二步走到它，第三步，以此类推，概率好像都是一样的。
• 然后弄个逆元（快速幂），就行了。（逆元讲解可以看我这个博客http://blog.csdn.net/jackypigpig/article/details/54232871）

程序

#include <cstdio>#define Ha 1000000007#define add(x,y) (to[++num]=head[x],head[x]=num,V[num]=y)#define For(x) for(int h=head[x],o=V[h]; h; o=V[h=to[h]])int head[100005],to[400005],V[400005],num;int n,m,k,ans,a[100005],d[100005];int ksm(int x,int y){    long long ret=1;    for (; y; y>>=1,x=((long long)x*x)%Ha)        if (y&1) ret=(ret*x)%Ha;    return ret;}int main(){    //printf("%d",ksm(4,Ha-2));    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);    for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);    for (int i=1,uu,vv; i<=m; i++) scanf("%d%d",&uu,&vv),d[uu]++,d[vv]++;    for (int i=1; i<=n; i++) ans=(ans+(long long)d[i]%Ha*a[i]%Ha)%Ha;    ans=(((long long)ans*ksm(2*m,Ha-2))%Ha*k)%Ha;    printf("%d",ans);}

提示

• 由于这次测试是晚自习做完英语听力后匆匆赶来机房的，时间不多，看看题，想了想，简单推了一下公式觉得不稳就没想这题了，然后发现我的公式是对的……
• 所以要相信自己，毕竟这公式打出来也很简单，花个五分钟写也不亏啊。
• 对于这种期望的问题，可以对每个元素讨论它出现的概率。