关于逆元的概念、用途和可行性的思考(附51nod 1013 和 51nod 1256)
来源:互联网 发布:matlab软件官方下载 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 16:52
【逆元的概念】
逆元和单位元这个概念在群中的解释是: 逆元是指数学领域群G中任意一个元素a,都在G中有唯一的逆元a’,具有性质a×a’=a’×a=e,其中e为该群的单位元。
群的概念是: 如果独异点(幺半群)中每一个元素都有逆元,那么这个独异点(幺半群)叫做群。
独异点(幺半群): 有单位元的半群。
半群: 可结合的代数系统。即 ,有 。
代数系统:我的理解是代数系统包含一个数的集合A和至少一个运算规则,所有的运算都是封闭的,不会产生不在A集合中的数。
我们知道的实数集合R和加减乘除等一系列运算规则就组成了一个代数系统。根据上面的概念我们当然知道这是一个群。
简单来说:对于任意群中元素a,b,如果a*b = 1 ,那么a就是b的左逆元,b就是a的右逆元。(如果这个群满足交换律,这个群就是交换群,那么a和b互为逆元。)
这里有一个例题,就是求逆元的:
当然这是一道单纯求逆元的题。
(K*M)% N = 1
看到这个我们想把%消掉,看起来就会简单了。
==> (K*M-1)%N = 0
==> K*M-1 = S*N (S为未知数)
现在我们成功的消掉了%,这个等式只有K和S两个未知数。
如果还没看出来的话,我们把K换成x,S换成y,再移项看看:
==> M*x - N*y = 1
是不是很熟悉,对,就是拓展欧几里得。
ll gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if (b==0){ x=1,y=0; return a; } ll q=gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return q;}
这样能够解出x,y的一对解,再把它移到适合的范围内就得到了我们的结果。
这题的代码如下:
#include <iostream>#include <algorithm>#include <string>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>#define rep(u,i,n) for(int u = i;u <= n; u++)typedef long long ll;using namespace std;ll gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if (b==0){ x=1,y=0; return a; } ll q=gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return q;}int main() { ll n,m,x = 0,y = 0; while(cin >> m >> n){ gcd(n,m,x,y); if(y > 0) cout << y << endl; else cout << n+y << endl; } return 0;}
【逆元的用途】 除法取模
我们知道 (a*b)%n = c –> ((a%n)*(b%n))%n = c;
但是(a/b)%n 该怎么求呢?
如果n = 11, a = 3, b = 10 的话,直接算会导致结果错误(3/10)%11 = 0。
我们知道3/10是有值的,但是直接算结果会变成0,肯定出了某种错误。
这个错误我们暂时不做讨论,着重解决问题。
这时乘法逆元就派上用场了我们知道(3/10)%11 ==> (3*(1/10))%11
而1/10在乘法上是10的逆元(mod n = 11),意思就是我们用10的逆元取代1/10的位置就可以解决了。
(3/(10的逆元))%11就是我们要的结果。
于是我们成功的解决了除法时取模的问题。
这里有一个例题:
这个逆元是手动求的,懒得写求逆元代码。
代码如下:
#include <bits\stdc++.h>typedef long long ll;using namespace std;const int mod = 1000000007; ll mod_pow(ll x,ll n) { ll ans = 1; while(n > 0) { if(n % 2 == 1){ ans = ans * x % mod; } n /= 2; x = x*x % mod; } return ans; } int main() { ll n,ans; cin >> n; n++; ans = (mod_pow(3,n)-1)*500000004%mod; // 500000004是2对mod的逆元 ,逆元在除以后取模时使用 cout << ans << endl; return 0; }
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