动态规划-最短路径个数问题

这里需要图，队列等相关知识，请参阅我之前的博客，都有详细说明。

问题：个点之间的线路如图所示，点与点之间的距离都是“1”，算A到T的最短路径，以及共有多少种这样的路径。

 

显然用图的广度搜索结合动态规划来解决这个问题是比较容易的。

数据结构：

setp（i）：表示i对用的点到A点的最小路径步数。

path_num（i）：表示i对应的点到A点最小路径的个数

状态转移方程：

      if（step（j）==0）

           step（j）=step（i）+1

           path_num（j） = path_num（i）

     if（step（j） = step（i）+ 1）

           path_num（j）= path_num（i）+ path_num（j）

why：

第一种情况：

j是对i通过广度搜索找出的。如上图到G点路径只能是：F—>G,I—>G

当第一次到达G，也就是F—>G，此时step（G）==0，那么就是说G点是第一次触达，根据已知的信息，先记录着：

step（G）=step（F）+1 = 2 + 1 = 3

path_num（G） = path_num（F） = 2

  这里有人可能说step（F），path_num（F）怎么算出来的，F是从B,E那算出来的，我们就是用前面的值去算后面的值，这就是之前说的动态规划，那么起点呢，我们规定step（A）= 0，path_num（A）= 1 ；即A到A的最短路径是0，A到A共有1种这样的最短路径。

step（G）=step（F）+1：（A到G的步数）=（A到F的步数）+1

path_num（G） = path_num（F）：（A到G的路径个数）=（A到F的路径个数）X（F到G的路径个数）。乘法原理….，而F到G的路径个数为总是1。好像是废话…

 

第二种情况：

当F—>G之后，又会出现I—>G了，此时根据F—>G算出的step（G）= 3，path_num（G）= 2，以及step（I）= 2，path_num（I）= 1，这些值都是能根据之前已知值迭代出来的。

当出现I—>G时，此时的step（G）是有值的，这个值是F当初触达算出的，现在I触达了，这时就考虑怎么去更换。

如果step（I）+1 > step（G），I到G的步数比原来的还大，显然不用考虑更换了，但是这里因为用了广度搜索以及每次都是取最小值，step（I）+1 >step（G）是永远不会出现的，你在程序里写不写这段代码都可以，写上了可能更方便逻辑的理解。

同理step（I）+1 < step（G）也是不会出现的，你想想I到G都是用广度搜索算出来的，也就是说I到G的距离永远是1。所以只能出现2种情况要么step（G）==0要么step（I）+1 = step（G），step（G）==0已经讨论过了。

此时step（I）+1 = 2+1 = step（G）=3

也就是说I到G共有path_num（I）= 1种方法，F到G共有path_num（G） = path_num（F） = 2种方法，一共1+2=3中方法。

最终算出step（G），path_num（G）

不停的迭代下去直至到达T。

核心代码：