【2-SAT】【AtCoder Regular Contest 069 F】Flag

Description

Snuke 喜欢旗子.
Snuke 正在将N 个旗子摆在一条线上.
第i 个旗子可以被放在位置xi 或yi 上.
Snuke 认为两个旗子间的最小距离越大越好. 请你求出最大值.
对于100% 的数据, 1 <= N <= 10^4，1 <= xi, yi <= 10^9.

2-SAT

模型还是比较显然的。看到双最值想到二分，转为判定性问题
我们拆点，b[i][1]表示位置i选，b[i][0]表示不选
这时边的意义就是“推出”，比如说b[xi][0]向b[yi][1]连边，因为xi不放就必然要放yi
考虑限制条件：判定是否有方案，使得选择的点间距>=lim
对于每个点x，如果它选，那么b[x][1]就要向所有的dis(x,y)< lim 的b[y][0]连边，因为一旦选择了x，就不能选与它间距< lim的点
然而这样最坏情况下，边数是O(n2)的，我们需要优化连边
考虑到连边总是向一个去心领域内连，我们有对应的优化方法

分块优化连边

自己yy吧，很简单。这样会多出O(n0.5)个中转点

线段树优化连边

用线段树上的结点结构来优化，父节点向子节点连边。这样会多出O(n)个中转点

进行完连边优化之后，边数变成O(n1.5)或O(nlogn)的

接着要求解2-SAT
2-SAT问题一般有两个解决方法，都是线性的

有向图的Tarjan算法

对构出的图跑Tarjan，对于任意x判定b[x][0]，b[x][1]是否在同一连通块。若是则有矛盾。
不太清楚这种方法如何构造一组可行解。

这个方法复杂度没有任何问题

dfs染色

对于当前遇到的每个未染色的点，尝试染b[x][0]，如果不可行再染b[x][1]，这样每个点最多被染两次
感性证明：2-SAT问题具有对称性，其本质为原命题与逆否命题的真伪性相同。一个点开始的dfs染色会把它所在的SCC的所有点的0/1确定下来
这样可以通过最后每个点的颜色来构造可行解

可是，我们线段树优化连边时新建了O(n)个点，如果很多个点都dfs重新染色，可能会重复经过这O(n)个点多次。这个复杂度我不太会算，但是这种方法实测很快，在Atcoder上交也过了（虽然说跑得挺慢）

Code

分块优化连边+dfs染色

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)#define efo(i,v,u) for(int i=last[v],u=to[last[v]];i;i=nxt[i],u=to[i])#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;typedef long long ll;void read(int &n){    int t=0,p=1;char ch;    for(ch=getchar();!('0'<=ch && ch<='9');ch=getchar())        if(ch=='-') p=-1;    for(;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar()) t=t*10+ch-'0';    n=t*p;}const int N=4e5+5,M=50000005;int n,nn,rtn,tot,ext,b[N][2];struct node{    int x,id;}a[N];bool cmp(node a,node b){return a.x<b.x;}int m,co[N],to[M],nxt[M],last[N],list[N],L[N],R[N];void link(int u,int v){    to[++m]=v,nxt[m]=last[u],last[u]=m;}bool dfs(int v){    if(v<=tot && co[v^1]) return 0;    if(v<=tot && co[v]) return 1;    co[v]=1;    list[++list[0]]=v;    efo(i,v,u) if(!co[u])        if(!dfs(u)) return 0;    return 1;}bool check(int lim){    m=0;mset(last,0);    fo(i,1,n)    {        link(b[i+i-1][0],b[i+i][1]),link(b[i+i][1],b[i+i-1][0]);        link(b[i+i-1][1],b[i+i][0]),link(b[i+i][0],b[i+i-1][1]);    }    fo(i,1,rtn)        fo(j,L[i],R[i]) link(tot+i,b[a[j].id][0]);    int l=1,r=1;    fo(i,1,nn)    {        while(l<nn && a[i].x-a[l].x>=lim) ++l;        while(r<nn && a[r+1].x-a[i].x<lim) ++r;        int ql=min(rtn,(l-1)/rtn+1),qr=min(rtn,(r-1)/rtn+1),qi=min(rtn,(i-1)/rtn+1);        if(ql==qr)        {            fo(j,l,r)                if(j!=i) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);        }        else        {            if(ql==qi)                fo(j,l,i-1) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);            else            {                fo(j,l,R[ql]) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);                fo(j,ql+1,qi-1) link(b[a[i].id][1],tot+j);                fo(j,L[qi],i-1) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);            }            if(qi==qr)                fo(j,i+1,r) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);            else            {                fo(j,i+1,R[qi]) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);                fo(j,qi+1,qr-1) link(b[a[i].id][1],tot+j);                fo(j,L[qr],r) link(b[a[i].id][1],b[a[j].id][0]);            }        }    }    mset(co,0);    fo(i,1,tot)    {        int x=i+i-1;        if(!co[b[x][0]] && !co[b[x][1]])        {            list[0]=0;            if(!dfs(b[x][0]))            {                fo(j,1,list[0]) co[list[j]]=0;                list[0]=0;                if(!dfs(b[x][1])) return 0;            }        }    }    return 1;}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    freopen("a.out","w",stdout);    int x,y;    read(n);nn=n+n;    fo(i,1,n) read(a[i+i-1].x),read(a[i+i].x);    tot=1;    fo(i,1,nn) a[i].id=i,b[i][0]=++tot,b[i][1]=++tot;    rtn=sqrt(nn);    fo(i,1,rtn-1) L[i]=1+rtn*(i-1),R[i]=rtn*i;    L[rtn]=1+rtn*(rtn-1),R[rtn]=nn;    sort(a+1,a+nn+1,cmp);    int l=0,r=a[nn].x+1;    while(l<r-1)    {        int mid=(l+r)>>1;        if(check(mid)) l=mid;        else r=mid;    }    printf("%d\n",l);    return 0;}

线段树优化连边+tarjan判可行

#include<stack>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)#define efo(i,v,u) for(int i=last[v],u=to[last[v]];i;i=nxt[i],u=to[i])#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))#define mset(a,x) memset(a,x,sizeof(a))using namespace std;typedef long long ll;void read(int &n){    int t=0,p=1;char ch;    for(ch=getchar();!('0'<=ch && ch<='9');ch=getchar())        if(ch=='-') p=-1;    for(;'0'<=ch && ch<='9';ch=getchar()) t=t*10+ch-'0';    n=t*p;}const int N=4e5+5,M=1e7+5;int n,nn,vtot,tot,root,b[N][2];struct node{    int x,id;}a[N];bool cmp(node a,node b){return a.x<b.x;}int m,co[N],to[M],nxt[M],last[N],ls[N],rs[N];void link(int u,int v){    to[++m]=v,nxt[m]=last[u],last[u]=m;}void build(int &v,int l,int r){    if(l==r)    {        v=b[a[l].id][0];        return;    }    v=++tot;    int mid=l+r>>1;    build(ls[v],l,mid);build(rs[v],mid+1,r);    link(v,ls[v]);link(v,rs[v]);}void add(int v,int l,int r,int x,int y,int p){    if(x>y || l>r) return;    if(l==x && r==y)    {        link(p,v);        return;    }    int mid=l+r>>1;    if(y<=mid) add(ls[v],l,mid,x,y,p);    else    if(x>mid) add(rs[v],mid+1,r,x,y,p);    else add(ls[v],l,mid,x,mid,p),add(rs[v],mid+1,r,mid+1,y,p);}int now,top,num,low[N],dfn[N],scc[N],sta[N];bool bz[N],vis[N];void tarjan(int v){    low[v]=dfn[v]=++now;    bz[v]=vis[v]=1;    sta[++top]=v;    efo(i,v,u)        if(!vis[u])        {            tarjan(u);            low[v]=min(low[v],low[u]);        }        else        if(bz[u]) low[v]=min(low[v],dfn[u]);    if(low[v]==dfn[v])    {        sta[top+1]=0;++num;        for(;sta[top+1]!=v;top--) bz[sta[top]]=0,scc[sta[top]]=num;    }}bool check(int lim){    m=0;mset(last,0);    fo(i,1,n)    {        link(b[i+i-1][0],b[i+i][1]),link(b[i+i][1],b[i+i-1][0]);        link(b[i+i-1][1],b[i+i][0]),link(b[i+i][0],b[i+i-1][1]);    }    tot=vtot;    build(root,1,nn);    int l=1,r=1;    fo(i,1,nn)    {        while(l<nn && a[i].x-a[l].x>=lim) ++l;        while(r<nn && a[r+1].x-a[i].x<lim) ++r;        add(root,1,nn,l,i-1,b[a[i].id][1]);        add(root,1,nn,i+1,r,b[a[i].id][1]);    }    now=top=num=0;mset(bz,0);mset(vis,0);mset(scc,0);    fo(i,1,vtot)        if(!vis[i]) tarjan(i);    fo(i,1,nn)        if(scc[b[i][0]]==scc[b[i][1]]) return 0;    return 1;}int main(){    freopen("a.in","r",stdin);    freopen("a.out","w",stdout);    int x,y;    read(n);nn=n+n;    fo(i,1,n) read(a[i+i-1].x),read(a[i+i].x);    vtot=1;    fo(i,1,nn) a[i].id=i,b[i][0]=++vtot,b[i][1]=++vtot;    sort(a+1,a+nn+1,cmp);    int l=0,r=a[nn].x+1;    while(l<r-1)    {        int mid=l+r>>1;        if(check(mid)) l=mid;        else r=mid;    }    printf("%d\n",l);    return 0;}