51nod 1350 斐波那契表示 （数学）

Description

每一个正整数都可以表示为若干个斐波那契数的和，一个整数可能存在多种不同的表示方法，例如：14 = 13 + 1 = 8 + 5 + 1，其中13 + 1是最短的表示（只用了2个斐波那契数）。定义F(n) = n的最短表示中的数字个数，F(14) = 2，F(100) = 3（100 = 3 + 8 + 89），F(16) = 2（16 = 8 + 8 = 13 + 3）。定义G(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… F(n)，G(6) = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8。给出若干个数字n，求对应的G(n)。

 

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量（1 <= T <= 50000)。

第2 - T + 1行：每行1个数n(1 <= n <= 10^17)。

 

Output

输出共T行：对应每组数据G(n)的值。

 

Input示例

3136

 

Output示例

138

 

思路

搞清楚斐波那契数列表示的本质这道题目就会变得非常简单。

其递推式： f0=f1=1,fi=fi−1+fi−2 (i>=2)

显然，对于一个斐波那契数来说，Fi=1 ，否则它一定存在于两个斐波那契数之间，对于这样的数，它的最短表示一定和它之前的若干个斐波那契数有关。

有这样一个规律：

比如，当 i=6 时，13 开始的连续 8 项，即 F[13],F[14],F[15]……F[20] 为 1，2，2，2，3，2，3，3

前 5 项 正好和 F[8],F[9],F[10],F[11],F[12] 一样

后 3 项为 F[5]+1,F[6]+1,F[7]+1

我们定义， si 表示从 fi 开始的连续 fi−1 项的最短表示之和。

则 si=si−1+si−2+fi−3 ，其中 s1=s2=1 。

剩下的根据规律随便写写就可以了。

 

AC 代码

#include<bits/stdc++.h>#define IO ios::sync_with_stdio(false);\    cin.tie(0);\    cout.tie(0);using namespace std;const int maxn = 88;typedef long long LL;LL f[maxn],s[maxn];void init(){    f[0] = f[1] = 1;    for(int i=2; i<maxn; i++)        f[i] = f[i-1] + f[i-2];    s[0] = s[1] = s[2] = 1;    for(int i=3; i<maxn; i++)        s[i] = s[i-1] + s[i-2] + f[i-3];}LL sear(int o,LL step){    if(step<=0)return 0;    if(o<=2)return 1;    if(step==f[o-1])return s[o];    return sear(o-1,min(f[o-2],(LL)step)) + sear(o-2,step-f[o-2]) + (step-f[o-2]>0?step-f[o-2]:0);}int main(){    IO;    init();    int T;    cin>>T;    while(T--)    {        LL n;        cin>>n;        LL ans = 0;        int tmp = upper_bound(f,f+maxn,n)-f-1;        for(int i=1; i<tmp; i++)            ans+=s[i];        cout<<ans + sear(tmp,n-f[tmp]+1)<<endl;    }    return 0;}