51nod 1350 斐波那契表示（打表+找规律）

Description

每一个正整数都可以表示为若干个斐波那契数的和，一个整数可能存在多种不同的表示方法，例如：14 = 13 + 1 = 8 + 5 + 1，其中13 + 1是最短的表示（只用了2个斐波那契数）。定义F(n) = n的最短表示中的数字个数，F(14) = 2，F(100) = 3（100 = 3 + 8 + 89），F(16) = 2（16 = 8 + 8 = 13 + 3）。定义G(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… F(n)，G(6) = 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 = 8。给出若干个数字n，求对应的G(n)。

Input

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量（1 <= T <= 50000)。
第2 - T + 1行：每行1个数n(1 <= n <= 10^17)。

Output

输出共T行：对应每组数据G(n)的值。

Input示例

3136

Output示例

138

解题思路

首先要明确要找到n的最短表示的数字个数，则从大到小找每次都找接近数的可选的最大值，依照这个原则进行打表，打出来是这样式的：
1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 3 1 2 2 2 3 2 3 3 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 4 1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 3 4 4
仔细观察会发现，可以写成这样式的：
1
1
1 2
1 2 2
1 2 2 2 3
1 2 2 2 3 2 3 3
1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 4
1 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 3 4 2 3 3 3 4 3 4 4
仔细观察会发现，每一行的个数的排列符合斐波那契数，并且每一行的数列是由上一行的数列加上上一行的上一行的数列每个值加 1 的结合。这样的话，我们可以先打表处理处每一行的和，然后根据给的值n先确定边界在哪一行，然后递归处理最后一行含有的数值，相加得结果。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define maxn 1007#define ll long longll fib[maxn],g[maxn];void init()   //打表处理得到每一行的和{    fib[1]=fib[2]=1;    g[1]=g[2]=1;    for(int i=3;i<90;i++)    {        fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];        g[i]=g[i-1]+g[i-2]+fib[i-2];    }}ll solve(int i,ll v)   //递归处理求得第i行存在的数值的和{    if(fib[i]==v)        return g[i];    if(fib[i-1]>=v)        return solve(i-1,v);    return solve(i-1,fib[i-1])+solve(i-2,v-fib[i-1])+v-fib[i-1];}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    init();    int T;    ll n,ans;    cin>>T;    while(T--)    {        cin>>n;        ans=0;        ll value=0;        int i=1;        while(value+fib[i]<n)    //获取边界位于第i行            value+=fib[i++];        for(int j=1;j<i;j++)     //计算前i行的和            ans+=g[j];        cout<<ans+solve(i,n-value)<<endl;    }    return 0;}