统计学学习笔记——（5）归一化

标准正态分布

标准正态分布（Standard Normal Distribution）：标准正态分布式一个特殊的正态分布。其随机变量均值为0，标准偏差为1。普通的随机变量在标准正态分布上的映射称为标准化值或Z值。

Z值

标准化值（Standard Score）：给定一个观察值x，通过用x减去均值再除以标准偏差就可以得到Z值。

Z=x−μσ

示例

例1：职业篮球运动员的平均身高为2米，其标准偏差为0.02米。哈里森巴恩斯是一名身高2.03米的篮球运动员。巴恩斯的身高距离均值多少个标准偏差？

根据篮球运动员的身高，首先画出身高分布曲线。

上图中我们把平均身高2米放在了中间，然后以一个标准偏差0.02米为一个刻度，分别在左右方向上进行标注。

然后我们需要计算出巴恩斯身高的标准化值（Z值）。根据已知条件μ=2.00，σ=0.02，x=2.03，通过公式可以计算出Z值：

x−μσ=2.03−2.000.02=0.030.02=1.5

Z值为1.5可以告诉我们巴恩斯的身高距离平均身高1.5个标准偏差，所以1.5σ+μ就等于巴恩斯的身高。

例2：职业曲棍球运动员的平均身高为1.86米，其标准偏差为0.06米。泰勒迈尔斯和哈里森巴恩斯身高一样，为2.03米的曲棍球运动员。那么在他们各自的运动阵营中，他们两个哪个比较高？

同样，先找到迈尔斯的标准化值（Z值）。根据已知条件μ=1.86，σ=0.06，x=2.03，通过公式求出Z值为：

x−μσ=2.03−1.860.06=0.170.06=2.833

通过比较两个Z值可以发现迈尔斯的Z值2.833远高于巴恩斯的1.5。因此，我们可以得知比迈尔斯矮的曲棍球运动员的人数，多于比巴恩斯矮的篮球运动员的人数。