polya 定理总结

公式

　用c 种颜色对　n 个置换群G1,G2,…,Gn着色,设每个置换群的循环节数为ki那么不同的着色总数
PG=1|G|∑ni=1cki

常见置换群循环节总结

1. 循环群
   

比如n 颗珠子的项链，考虑绕中心旋转重合视为相同. 那么共有　n 个循环群，其中每个循环群为:

(1i2i+1……ni−1)

那麽他的循环节为　k=gcd(i−1,n)
证明:

设

T=(1223……n1)

　那么

Ti−1=(1i2i+1……ni−1)

　而　T 是一个循环由　潘镇浩论文<置换群的幂运算>　Tk 会分裂成　gcd(k,n)(补充定义gcd(0,n)=n) 个循环节，详细类容可见论文.

2 . 翻转群

举个例子，还是刚才的 n 个珠子的项链，我们将　通过中心翻折后重合也视为相同那麽，共有n 个翻转群. 按照　n 的奇偶划分我们有

1. n%2==0 n2 个循环节为　n2 和　n2 个循环节为　2+n−22=n2+1 的翻转群．
2. n%2==1 共有　n 个循环节为　1+n−12 的翻转群

　这两个置换群加上polya 定理可以帮你解决

poj 2409
poj 2154 (稍微推一下polya 定理用　phi 函数解决)