卡特兰数

卡特兰数———摘自百度百科

卡特兰数又称卡塔兰数，以比利时数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

前几项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900,
        2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700，
        1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324,
        4861946401452, ...
        
其递推关系为：

2.h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1)

3.h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

4.h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

在算法中的典型应用：

1.括号问题

例：给定一个非负整数n，生成n对括号的所有合法排列（相当于矩阵连乘问题）。

括号的合法排列的规则：在每个位置，之前的左括号的数量均大于等于右括号数量。

其括号化的数目满足Catalan数。

2.出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列

类似问题：买票找零

3.凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

类似问题

一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

4.给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树？