空间域和变换域(以傅里叶变换为例)

空间域(spatial domain)

以图像左上为原点，横为y竖为x的二维平面。

变换域

在有些情况下，通过变换输入图像来表达处理任务，在变换域执行处理任务，然后再反变换到空间域会更好。
二维线性变换的通用形式可表示为：

T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)r(x,y,u,v)

其中，f(x,y)是输入图像，r(x,y,u,v)称为正变换核，T(u,v)称为f(x,y)的正变换。

给定T(u,v)后，可以用T(u,v)的反变换还原f(x,y):

f(x,y)=∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)s(x,y,u,v)

s(x,y,u,v)称为反变换核。两个式子一起称为变换对。

如果

r(x,y,u,v)=r1(x,u)r2(y,v)

那么正向变换核是可分的。如果 r1(x,u)=r2(y,v)，则称变换核是对称的。从而有

r(x,y,u,v)=r1(x,u)r1(y,v)

如果s同样试用，则同样适用于反变换核。

傅里叶变换

傅里叶变换在图像处理中是一种很常用的变换方法，可以使图像从空间域转换到频率域从而进行一些图像处理操作。

二维离散傅里叶变换的变换核为

r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN)

s(x,y,u,v)=1MNej2π(uxM+vyN)

带入通用变换式中，可得离散傅里叶变换对

T(u,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN)

f(x,y)=1MN∑u=0M−1∑v=0N−1T(u,v)ej2π(uxM+vyN)

傅里叶核是对称且可分的(证明见附)，并且可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换(证明见附)。

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附

证明:傅里叶核的对称性和可分性

根据同底幂的乘法运算am∗an=am+n，可得

r(x,y,u,v)=e−j2π(uxM+vyN)=e−j2πuxMe−j2πvyN=r1(x,u)r2(y,v)

可分性证毕。
由上式可得

r1(x,u)r2(y,v)=e−j2πuxMe−j2πvyN=r1(x,u)r1(y,v)

对称性证毕。

证明:可分和对称的傅里叶核允许用一维傅里叶变换计算二维傅里叶变换

T(u,v)T(x,v)=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π(uxM+vyN)=∑x=0M−1e−j2πxuM∑y=0N−1f(x,y)e−j2πyvN=∑x=0M−1T(x,v)e−j2πxuM=∑y=0N−1f(x,y)e−j2πyvN

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注

• 一维连续傅里叶公式：
  
  X(f)=∫+∞−∞x(t)e−j2πftdt
• 一维离散傅里叶公式：
  
  X(m)=∑n=0N−1x(n)e−j2πnmN,m=0,1,2,...,M−1
  
  根据欧拉公式
  
  e−j∅=cos(∅)−jsin(∅)
  
  一维离散傅里叶公式等价于
  
  X(m)=∑n=0N−1x(n)[cos(2πnmN)−jsin(2πnmN)]