51nod 1120 机器人走方格V3（组合数学+卡特兰数+Lucas）

Description

N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10007的结果。

Input

输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。

Output

输出走法的数量 Mod 10007。

Input示例

4

Output示例

10

解题思路

参照博客学习http://blog.csdn.net/hackbuteer1/article/details/7450250

类比于第一个题目，可以将横着类比为0，竖着走类比为1，很明显的卡特兰数的应用。但是由于n太大，需要使用Lucas定理来求组合数
lucas(n,m,p)=lucas(n/p,m/p,p)*C(n%p,m%p,p),
lucas(n,0,p)=1。

代码实现

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define ll long longconst ll p=10007;ll quick_pow(ll a,ll b){    ll ans=1;    a%=p;    while(b>0)    {        if(b%2)            ans=ans*a%p;        a=a*a%p;        b/=2;    }    return ans;}ll calc(int n,int m){    ll a=1,b=1;    if(m>n) return 0;    while (m)    {        a=a*n%p;        b=b*m%p;        n--;        m--;    }    return a*quick_pow(b,p-2)%p;}ll lucas(ll n,ll m){    if(m==0)        return 1;    return calc(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;}int main(){    ios::sync_with_stdio(false);    ll n;    cin>>n;    ll ans=lucas(2*n-2,n-1)%p*quick_pow(n,p-2)%p*2%p;    cout<<ans<<endl;    return 0;}