51node-1120 机器人走方格(卡特兰数列+Lucas定理)

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1120 机器人走方格 V3

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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N * N的方格，从左上到右下画一条线。一个机器人从左上走到右下，只能向右或向下走。并要求只能在这条线的上面或下面走，不能穿越这条线，有多少种不同的走法？由于方法数量可能很大，只需要输出Mod 10007的结果。

Input

输入一个数N(2 <= N <= 10^9)。

Output

输出走法的数量 Mod 10007。

Input示例

4

Output示例

10

经过思考发现，假如机器人在线的上方走，无论在什么时刻，机器人向下走的次数一定小于等于向右走的次数，这就好像出栈入栈(任意时刻出栈的次数一定小于等于入栈的次数)，满足卡特兰数列.

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=1,2,...).

又因为n <= 1e9,但是mod 为10007为大组合数求模所以要用lucas定理
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

#include <iostream>#include <algorithm>#include <cstring>#include <cstdio>#include <vector>#include <map>#include <set>#define MOD 10007#define maxn using namespace std;typedef long long ll;ll d[10010];ll pow_mod(ll p){ll ans = 1, m = MOD - 2;while(m){if(m&1)(ans *= p) %= MOD;(p *= p) %= MOD;m >>= 1;}return ans;}ll Lucas(ll n, ll m){ll ans = 1;while(m){ll p1 = n % MOD;ll p2 = m % MOD;if(p1 < p2)return 0;ans *= d[p1] * pow_mod(d[p2] * d[p1-p2] % MOD) % MOD;ans %= MOD;n /= MOD;m /= MOD;}return ans;}int main(){//freopen("in.txt", "r", stdin);d[0] = 1;for(int i = 1; i < MOD; i++)  d[i] = d[i-1] * i % MOD;ll n;scanf("%I64d", &n);n--;ll ans1 = Lucas(2*n, n);ll ans2 = Lucas(2*n, n-1);printf("%I64d\n", 2 * (ans1 - ans2 + MOD) % MOD);return 0;}

大组合数求模

C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p