剑指offer——面试题36:数组中的逆序对

来源:互联网 发布:网络大电影成本 编辑:程序博客网 时间:2024/06/01 07:56

    题目:在数组中的两个数字,如果前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。 即输出P%1000000007

    题目保证输入的数组中没有的相同的数字
    数据范围:
    对于%50的数据,size<=10^4
    对于%75的数据,size<=10^5
    对于%100的数据,size<=2*10^5

    测试样例:1,2,3,4,5,6,7,0    输出 :7

    代码:

/*归并排序的改进,把数据分成前后两个数组(递归分到每个数组仅有一个数据项),合并数组,合并时,出现前面的数组值array[i]大于后面数组值array[j]时;则前面数组array[i]~array[mid]都是大于array[j]的,count += mid+1 - i参考剑指Offer,但是感觉剑指Offer归并过程少了一步拷贝过程。还有就是测试用例输出结果比较大,对每次返回的count mod(1000000007)求余*/class Solution {public:    long InversePairsCore( vector<int> &data, vector<int> &copy, long start, long end){        if(start == end)  // copy: 辅助数组        {            return 0 ;  // 递归终止条件        }                       long length = (end-start)/ 2 ;        long left = InversePairsCore(copy,data, start, start+length); // 递归,归并排序,并计算本次逆序对数        long right = InversePairsCore(copy,data, start+length+1, end);        long crossCount = 0 ;       // 记录交叉的逆序对数        long i = start+length, j = end, temp = end;  //i:前半部分的下标,j:后半部分的下标,temp:辅助数组的下标                       while(i >= start && j >= start+length+1) {   // 存在交叉的逆序对,先统计一下,然后依次将较大值放进辅助数组            if (data[i] > data[j]) {                copy[temp--] = data[i--];                crossCount += j - start - length;            } else {                copy[temp--] = data[j--];   // 不存在交叉的逆序对,依次将较大值放进辅助数组            }        }        while(i >= start) {            copy[temp--] = data[i--];        }        while(j >=start+length+1) {            copy[temp--] = data[j--];        }          return (left + right + crossCount) % 1000000007; //数值过大时求余, 防止溢出    }    int InversePairs(vector<int> &data) {        if(data. size () == 0 ) return 0 ;        else if (data. size() == 1 ) return 1 ;        else {            vector<int> copy(data);            return InversePairsCore(copy, data, 0 , data.size()- 1);        }    }};

    分析: 看到这个题目,我们的第一反应是顺序扫描整个数组。没扫描到一个数组的时候,逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小,则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较,因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。
    我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候,我们不拿ta和后面的每一个数字作比较,否则时间复杂度就是O(n^2),因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

  

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组;
(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组;
(c) 把长度为1的子数组 合并、排序并统计逆序对 ;
(d) 把长度为2的子数组合并、排序,并统计逆序对;
    在上图(a)和(b)中,我们先把数组分解成两个长度为2的子数组,再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组,一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5,因此(7,5)组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对(6,4)。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对,因此需要把这两对子数组 排序 如上图(c)所示, 以免在以后的统计过程中再重复统计。
接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。
    我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾,并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字,则构成逆序对,并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数,如下图(a)和(c)所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字,则不构成逆序对,如图b所示。每一次比较的时候,我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中,确保 辅助数组(记为copy) 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后,把对应的指针向前移动一位,接下来进行下一轮比较。

  


    过程:先把数组分割成子数组,先统计出子数组内部的逆序对的数目,然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中,还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉,我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。