BZOJ 3105 新Nim游戏（博弈论+线性基）

Description

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

Input

第一行为整数k。即火柴堆数。第二行包含k个不超过109的正整数，即各堆的火柴个数。

Output

输出第一回合拿的火柴数目的最小值。如果不能保证取胜，输出−1。

Sample Input

6

5 5 6 6 5 5

Sample Output

21

Solution

为使后手必败，先手留给后手的必然是若干线性无关的数字，否则后手可以留下一个异或和为零的非空子集使得先手必败，故问题转化为拿走和最小的数字使得留下的数线性无关，即留下和最大的线性基，这样拿走的数量显然最少，找到和最大的线性基只需贪心的把数字从大到小加入到基中即可（证明需用到拟阵）

Code

#include<cstdio>#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cmath>#include<vector>#include<queue>#include<map>#include<set>#include<ctime>using namespace std;typedef long long ll;typedef pair<int,int>P;const int INF=0x3f3f3f3f,maxn=105;int n,a[maxn],base[maxn];int main(){    scanf("%d",&n);    ll sum=0,res=0;    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),sum+=a[i];    sort(a+1,a+n+1);    for(int i=n;i>=1;i--)    {        int temp=a[i];        for(int j=30;j>=0;j--)            if(a[i]>>j&1)            {                if(!base[j])                {                    base[j]=a[i];                    break;                }                else a[i]^=base[j];            }        if(a[i])res+=temp;    }    printf("%lld\n",sum-res);    return 0;}