用定点坐标求,多边形面积
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從醉月湖的面積談起
向量微積分簡介 (第 2 頁)
蔡聰
2.多邊形的面積公式
多邊形仍然太複雜,我們再退到三角形的特例,探尋完成後,再進到多邊形。這種處理問題時退、進之道很值得留意。
- 問題3:
- 已知三角形三個頂點的坐標為 A= (x1, y1), B = (x2, y2), C = (x3, y3), 如何求其面積?
我們進一步退到三個頂點為 O=(0,0), B=(x2, y2), C=(x3, y3) 之更特殊三角形。令 OB, OC 與 x 軸的夾角分別為 與 ,且 , ,則
圖3
圖4
如上圖所示,我們分成兩種情形來討論:
(i)當 O,B,C 成為逆時針(或右手系)定向時,如圖3,則 的面積為
(2)
(ii)當 O,B,C 成為順時針(或左手系)定向時,如圖4,則 的面積為
因此行列式
代表由 OB 與 OC 所生成的平行四邊形的有號面積,當 O,B,C 逆時針定向時為正,順時針定向時為負。利用向量外積也可以推導出這個結果。
回到問題3,不妨假設 為逆時針走向,見圖5,則 的面積為
(3)
其中規定 x4=x1 且 y4=y1
- 註:
- 通常教科書將(3)式寫成 (4)
圖5
仿上述之論證可得
- 定理1:
- 設 A1 (x1 , y1) , A2 (x2 , y2) , … , An (xn,yn) 為 n 邊形之頂點坐標且為逆時針定向,則此 n 邊形的面積為
(5)
其中規定 xn+1=x1 且 yn+1=y1
- 註:
- (5)式又叫做測量師的公式。
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