01背包问题

 

 

问题描述：

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

 

问题特点：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。（0：不放  1：放）

 

基本思路：

这是最基础的背包问题，用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]} 。 可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]} 　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

 

代码实现：

 

 #include<stdio.h>#include<string.h>#define MINUSINF 0x80000000#define MAXN 100#define MAXV 1000 int max(int a,int b){    return a>b?a:b;} //n件物品和一个容量为v的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]，装满与否要求为full//算法1：经典DP二维数组解法，时间复杂度及空间复杂度均为O(nv) int ZeroOnePack1(int n,int v,int c[],int w[],int full){    int i,j;    int f[MAXN][MAXV];    if(full){        for(i=0;i<=n;i++)            for(j=0;j<=v;j++)                 f[i][j]=MINUSINF;        f[0][0]=0;    }     else {              memset(f,0,sizeof(f));       }    for(i=1;i<=n;i++){        for(j=0;j<=v;j++){            if(j>=c[i])                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-c[i]]+w[i]);            else f[i][j]=f[i-1][j];        }    }    if(f[n][v]<0) return -1;    else return f[n][v];} //算法2：算法1的一维数组解法，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)int ZeroOnePack2(int n,int v,int c[],int w[],int full){    int i,j;    int f[MAXV];    if(full){        f[0]=0;        for(i=1;i<=v;i++)             f[i]=MINUSINF;    }    else{              memset(f,0,sizeof(f));       }    for(i=1;i<=n;i++){        for(j=v;j>=0;j--){            if(j>=c[i])                f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);        }    }    if(f[v]<0) return -1;    else return f[v];}//算法3：算法2的优化，去掉了无必要的判断，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)int ZeroOnePack3(int n,int v,int c[],int w[],int full){    int i,j;    int f[MAXV];    if(full){        f[0]=0;        for(i=1;i<=v;i++)             f[i]=MINUSINF;    }    else {              memset(f,0,sizeof(f));       }    for(i=1;i<=n;i++){        for(j=v;j>=c[i];j--){            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);        }    }    if(f[v]<0) return -1;    else return f[v];} //算法4：算法3的常数优化，在v较大时优势明显，时间复杂度为O(nv)，空间复杂度为O(v)int ZeroOnePack4(int n,int v,int c[],int w[],int full){    int i,j,sum=0,bound;    int f[MAXV];    if(full)    {        f[0]=0;        for(i=1;i<=v;i++)             f[i]=MINUSINF;    }    else memset(f,0,sizeof(f));    for(i=1;i<=n;i++) sum+=w[i];    for(i=1;i<=n;i++)    {        if(i>1) sum-=w[i-1];        bound=max(v-sum,c[i]);        for(j=v;j>=bound;j--)        {            f[j]=max(f[j],f[j-c[i]]+w[i]);        }    }    if(f[v]<0) return -1;    else return f[v];} int main(){    int i,j;    int n,v,c[MAXN],w[MAXN];    while(scanf("%d %d",&n,&v)!=EOF){        for(i=1;i<=n;i++) {                     scanf("%d %d",&c[i],&w[i]);              }        printf("%d\n",ZeroOnePack1(n,v,c,w,0));    }    return 0;}