卡特兰数
来源：互联网 发布：淘宝企业店铺注意事项 编辑：程序博客网 时间：2024/04/28 11:40
卡特兰数的应用
实质上都是递归等式的应用括号化
矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)出栈次序
一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? 分析 对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。 在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。 不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。 反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。 因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。 显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。 （这个公式的下标是从h(0)=1开始的） 类似问题 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)凸多边形三角剖分
求将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数。 类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?给定节点组成二叉树
给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？ （能构成h（N）个）（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）
Catalan数的解法
Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)
/* 大数解
对于大数来说，就应该使用下面的大数算法。
使用的公式为：h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/（n+1）;
*/
// 0ms
#include<iostream>
using namespace std;
#define MAX 100
#define BASE 10000
void multiply(int a[],int Max,int b) //大数乘法,注意参数的传递
{
int i,array=0;
for (i = Max-1; i >= 0; i--)
{
array += b * a[i];
a[i] = array % BASE; // 数组每一位存放大数的四位数字
array /= BASE;
}
}
void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大数除法
{
int i, div = 0;
for (i = 0; i < Max; i++)
{
div = div * BASE + a[i];
a[i] = div / b;
div %= b;
}
}
int main()
{
int a[101][MAX],i, n;
memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));
for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大数低位//从h(1)开始用上面的公式计算h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/（n+1）;
{
memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int)); //h[i] = h[i-1];
multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2); //h[i] *= (4*i-2);
divide(a[i], MAX, i + 1); //h[i] /= （i+1）;
}
while (cin >> n)
{
for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。
cout << a[n][i++]; //输出第一个非0数
for (; i < MAX; i++)
{
printf("%04d",a[n][i]); //输出后面的数，并每位都保持4位长度!(32767)
}
cout << endl;
}
return 0;
}
