卡特兰数

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卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰公式的应用很广泛，最典型的四种应用问题现描述如下：

1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

Catalan数的解法

1.Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);
2.此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)。
令h(1)=1,h(0)=1，catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
　　h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5
　　另类递归式：
　　h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

维基百科资料:

卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

卡塔兰数的一般项公式为 $C_n = \frac{1}{n+1}{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!}$

另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786,

208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,

6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

性质

C_n的另一个表达形式为 $C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} \quad\mbox{ for }n\ge 1$ 所以，C_n是一个自然数；这一点在

先前的通项公式中并不显而易见。这个表达形式也是André对前一公式证明的基础(见下文第二个证明)

卡塔兰数满足以下递推关系 $C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

它也满足 $C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$ 这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为 $C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_n都满足n = 2^k ? 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

应用

组合数学中有非常多的组合结构可以用卡塔兰数来计数。

在Enumerative Combinatorics: Volume 2一书习题中包括66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。

以下用C_n=3和C_n=4举若干例：

1、C_n表示长度2n的dyck word的个数。

Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。

以下为长度为6的dyck words:XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

2、将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

3、C_n表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

4、C_n表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。

（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右

扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有 ${2n \choose n}$ 个，

下面考虑不满足要求的数目。考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，

扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），

则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，

则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而 $C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$ 。证毕。

5、C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。

一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。

计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。

下图为n = 4的情况：

卡特蘭數 Catalan數（ACM數論組合）總結 - _眼淚笑了 - _眼淚笑了

6、C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

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7、C_n表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。

一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，

其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) =S(u)S(v)n，

其中S为所有含一个元素的数列的单位元。

8、C_n表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数.

那么, C_n 永远不大于第n项贝尔数. C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，

其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明

that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero.

This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.

9、C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

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百度百科资料:
简介
中文:卡特兰数
　　Catalan数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。

由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + 卡特蘭數 Catalan數（ACM數論組合）總結 - _眼淚笑了 - _眼淚笑了

+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　该递推关系的解为：
　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3, 卡特蘭數 Catalan數（ACM數論組合）總結 - _眼淚笑了 - _眼淚笑了

)
另类递归式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,

58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190,

6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 卡特蘭數 Catalan數（ACM數論組合）總結 - _眼淚笑了 - _眼淚笑了

应用
　　我总结了一下，最典型的四类应用：

（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

1.括号化问题。

　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示

成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2.出栈次序问题。
　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
　　类似：
　　(1)有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人

只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元

的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。

3.将多边行划分为三角形问题。
　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?
　　类似：

(1)一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。

如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？
　　(2)在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.给顶节点组成二叉树的问题。
　　给定N个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？(一定是二叉树!)
　　先去一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,

就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + 卡特蘭數 Catalan數（ACM數論組合）總結 - _眼淚笑了 - _眼淚笑了

+ h(n-1)h(0)=h(n))　　（能构成h（N）个）