子数组之和的最大值

求子数组之和的最大值问题是一个比较常见面试题，具体看见编程之美P184，题号为 2.14。

看编程之美上的解答有时候反而不利于理解，上面列出三种解法，时间复杂度分别是O(n^3)，O(n^2)以及O(n)。

其实线性时间复杂度（O(n)）的解法思路比较直观，主要思想是动态规划（DP），即求出以a[i]结尾的子串之和的最大值，再求n个这样的最大的值的最大值。

 

求出以a[i]结尾的子串之和的最大值（记为p[i]）方法主要有两种：

第一种是p[i]=sum[i]-s[i];其中s[i]表示数组中前j（1<= j <=i）项之和的最小值;

求s[i]的DP表达式为：s[i]=min(sum[i], s[i-1]);    sum[i]=sum[i-1]+a[i]; （sum[0]=0; s[0]=0）

 

第二种是编程之美的解法三，思路也很直观：

同样是DP，p[i]=max(a[i], p[i-1]+a[i]); (p[0]=0)

 

求出p[i]后，再求n个p[i]的最大值即是我们要求的子数组之和的最大值（记为MaxS）。

这里要注意的是特殊情况，编程之美也提到过，当数组都是正数的时候，MaxS即是整个数组的和，这包含在了上述两种解法中；

而当数组元素全部为负数的时候，MaxS是最大的负数，需要另外求数组的最大值，时间复杂度也是O(n)，总的时间复杂度还是O(n)。

 

下面是对应的两种思路的代码，以后加个注释，第二种和编程之美上的解法三是一样的思路。

解法一代码：

//BOP2.14.cpp #include<iostream>using namespace std;const int MaxN=1000;int a[MaxN];int sum[MaxN];int s[MaxN];int p[MaxN];int MaxS;int Maxa; int main(){    int n;    int flag=0;     cin>>n;    for(int i=1; i<=n; i++)     {            cin>>a[i];            if(a[i] >0) flag=1;    }    //初始化     sum[0]=0;    s[0]=0;     MaxS=a[1];    Maxa=a[1];          for (int i=1; i<=n; i++)    {        if(a[i] > Maxa)     Maxa=a[i];         sum[i]=sum[i-1]+a[i];         if(sum[i] < s[i-1])                 s[i]=sum[i];        else                s[i]=s[i-1];        p[i]=sum[i]-s[i];        if (p[i] > MaxS)                 MaxS = p[i];     }    if(!flag)    {       MaxS=Maxa;       cout<<MaxS<<endl;    }     else     cout<<MaxS<<endl;     system("pause");    return 0; } 

解法二代码：

//BOP2.14.cpp#include<iostream>using namespace std;const int MaxN=1000;int a[MaxN];int p[MaxN];int MaxS;int Maxa; int main(){    int n;    int flag=0;     cin>>n;    for(int i=1; i<=n; i++)     {            cin>>a[i];            if(a[i] > 0) flag=1;     }        p[0]=0;    Maxa=a[1];     MaxS=a[1];    for(int i=1; i<=n; i++)     {            if(a[i] > Maxa) Maxa=a[i];            if(a[i] > p[i-1]+a[i])                    p[i]=a[i];            else                    p[i]=p[i-1]+a[i];            if(p[i] > MaxS) MaxS=p[i];                 }     if(!flag)             cout<<Maxa<<endl;    else             cout<<MaxS<<endl;     system("pause");     return 0;} 

测试用例1(编程之美上的例子)：

Input:

7

-2 5 3 -6 4 -8 6

Output:

8

测试用例2：

Input:

3

4 -3 100

Output:

101

测试用例3：

Input:

3

-1-2 -3

Output:

-1