子数组之和的最大值

http://blog.csdn.net/songjiano/article/details/6594616

给定一个数组，查找这个数组的子数组的最大和

比如｛-2，5，3，-6，4，-8，6｝

输出最大和8

分析：假设已经找到一个子数组的最大和，这个子数组是从数组索引i到索引j。

可以用如下式子描述，cur_max = a[i , j]; 对于下一个数，也就是索引为j+1，这个最大和是否

将a[j+1]加入cur_max,需要考虑cur_max的值和a[j+1];

如果当前的cur_max小于0，说明a[j+1] > a[i, j] + a[j]; cur_max = a[j+1];说明此时最大值从索引j+1开始

如果当前的cur_max大于或者等于0，cur_max = cur_max + a[j+1]。

每一轮需要比较cur_max和记录的max值进行比较更新。

此算法的时间复杂度为O(N) 空间复杂度为O(1);

源码：

int MaxSum( const int* numbers, unsigned int N )
{
assert( numbers );

int max = numbers[0];
int cur_max = max;

for ( int i=1; i<N; i++ )
{
if( cur_max < 0 )
cur_max = 0;
cur_max += numbers[i];
if( cur_max > max )
max = cur_max;
}

return max;
}

void main()
{
int nums[] = {-2,5,3,-6,4,-8,6};
//int nums[] = {0,-2,3,5,-1,2};
cout << MaxSum( nums, sizeof(nums) / sizeof(int) ) << endl;
system("pause");
}

http://blog.csdn.net/zhongjiekangping/article/details/6855021

《编程之美》里面对求一维，二维的都进行了讲解。 
1、一维中用动态规划可以使时间复杂度降到O(n). 
   思想：考虑数组中A[0]，与最大的一段数组（A[i],...A[j]）的关系 
         （1）、当0=i=j时，元素A[0]本身构成最大的一段 
         （2）、当0=i<j时，和最大的一段以 A[0]开始 
         （3）、当0<i时，元素A[0]与和最大一段没有关系 
   假设已经知道（A[1],...A[n-1]）中和最大的一段数组之和为All[1],并且已经知道（A[1],...,A[n-1]）中包含A[1]的和最大一段为start[1],那么A[0]到A[n-1]中和最大的一段为max（A[0],A[0]+start[1],All[1]） 
   
   动态规划总是这样，分析最后的结果，然后累加中间步骤的小结果们。 

C代码  

1. int max(int x,int y){   
2.     return (x > y) ? x : y;   
3. }   
4. int maxSum(int* A, int n){   
5.     start[n-1] = A[n-1];   
6.     All[n-1] = A[n-1];   
7.     for(i = n-2; i>=0; i--){   
8.         start[i] = max(A[i], A[i]+start[i+1]);   
9.         all[i] = max(start[i],all[i+1]);   
10.     }   
11. }   return all[0];  

[c] view plaincopy

1. int max(int x,int y){  
2.     return (x > y) ? x : y;  
3. }  
4. int maxSum(int* A, int n){  
5.     start[n-1] = A[n-1];  
6.     All[n-1] = A[n-1];  
7.     for(i = n-2; i>=0; i--){  
8.         start[i] = max(A[i], A[i]+start[i+1]);  
9.         all[i] = max(start[i],all[i+1]);  
10.     }  
11. }   return all[0];  

2、二维中，假设已经确定了矩形区域的上下边界，比如知道矩形区域的上下边界分别是第a行和第c行，现在要确定左右边界。 
 
转化为一个一维问题，可以把每一列中第a行和第c行之间的元素看成一个整体。即求数组(BC[1],...BC[M])中和最大的一段，其中B[i] = B[a][i]+...B[c][i]. 

3、扩展问题;如果是三维数组呢？ 
我的问题是如果是高维数组呢？ 

---------------------------- 
其实不管多高维，都可以用二维数组的解法来解，三维数组就分解为两个二维平面。。对应于二维中的第a行和第c行，三维中就是第a个平面和第c平面；对应于二维中BC的数组，三维中就是BC平面。。 
同样，四维就分为两个三维来做。。。