DP---最长公共子序列

问题描述
最长公共子序列也称作最长公共子串(不要求连续)，英文缩写为LCS（Longest Common Subsequence）。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。

应用　　
最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

算法
动态规划的一个计算两个序列的最长公共子序列的方法如下：
以两个序列 X、Y 为例子：
设有二维数组 f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
f[1][1] = same(1,1);
f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}
其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。
此时，f[j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。
代码（C++）

#include <cstdlib> 　#include <iostream> 　using namespace std;#define N 105int dp[N+1][N+1] ;char str1[N],str2[N]; 　int maxx(int a , int b){if(a > b) return a ;return b ;} 　　int LCSL(int len1 , int len2){int i,j;int len = maxx(len1 , len2);for( i = 0 ; i <= len; i++ )dp[i][0] = 0 ;dp[0][i] = 0 ;//初始状态，dp全为0；for( i = 1 ; i<= len1 ; i++){for( j = 1 ; j <= len2 ; j++){if(str1[i - 1] == str2[j - 1]){dp[i][j] = dp[i - 1][ j - 1] + 1 ;}else{dp[i][j] = maxx(dp[i - 1][ j ] , dp[i][j - 1]) ;}}}return dp[len1][len2];}int main() 　{while(cin >> str1 >> str2){int len1 = strlen(str1) ;int len2 = strlen(str2) ;cout<<LCSL(len1 , len2)<<endl;}return 0;}