欧拉函数学习小结 #nobody

POJ 1284

首先说明什么叫a模p的阶？

《数论概论》中“幂模p与原根”一章中有提到阶的概念： 如果a不被素数p整除，则a模p的阶是指使得

a^e=1（mod p）的最小指数e>=1； 例如2、3、4、5、6模7的阶分别是3、6、3、6、2。

 并且本章中给出一些重要的性质，其中有：一个数a模p的阶e总能整除p-1。

那么什么叫原根(primitive root)?

设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。

假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同.

该题题意就是p的元根的个数。

【算法】定理1：如果p有原根，则它恰有φ(φ(p))个不同的原根（无论p是否为素数都适用）     {x^i%p | 1 <= i <= p - 1} = {1,2,...,p-1} 等价于      {x^i%(p-1) | 1 <= i <= p - 1} = {0,1,2,...,p-2},    即为(p-1)的完全剩余系若x,x2...x(p-1)是(p-1)的完全剩余系,根据定理,可以推出若       gcd(x, p-1) = 1时, (1,x,...,x(p-2))也是(p-1)的完全剩余系    因为若x^i != x^j (mod p-1),那么x*x^i != x*x^j (mod p-1),    与条件m矛盾,      所以 x^i = x^j (mod p-1),    由此可以确定答案为Euler(p-1)

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;int euler(int x){    int res = x;    for(int i=2;i<(int)sqrt(x*1.0)+1;i++)    {        if(x%i == 0)        {            res = res/i*(i-1);            while(x%i==0)                x/=i;        }    }    if(x>1)res = res/x*(x-1);    return res;}int main(){    freopen("input.txt","r",stdin);    int p;    while(scanf("%d",&p)!=EOF)    {        printf("%d\n",euler(p-1));    }    return 0;}

POJ 2478

这个题学会了一个类似筛法快速求欧拉函数

#include <iostream>#include <iomanip>using namespace std;#define N 1000000#define ll long longll eular[N+5],prime[N+5],mark[N+5],res[N+5];void q_eular(){    int i,j;    for(i=2;i<=N;++i){         if(mark[i]==0){            prime[++prime[0]]=i;            eular[i]=i-1;         }         for(j=1;j<=prime[0]&&prime[j]*i<=N;++j){            mark[prime[j]*i]=1;            if(i%prime[j]==0){                eular[i*prime[j]]=eular[i]*prime[j];                break;            }            else                eular[i*prime[j]]=eular[i]*(prime[j]-1);         }    }}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    //freopen("output1.txt","w",stdout);    q_eular();    int i,j,n;    res[1]=eular[1];    for(i=2;i<=N;++i){        res[i]=eular[i]+res[i-1];    }    while(cin>>n&&n){        cout<<res[n]<<endl;    }    return 0;}