计算N条直线所有可能的交点个数(动态规划)
来源:互联网 发布:淘宝怎么查一年前订单 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 19:31
Problem Description
平面上有n条直线,且无三线共点,问这些直线能有多少种不同交点数。
比如,如果n=2,则可能的交点数量为0(平行)或者1(不平行)。
问题分析
将n条直线排成一个序列,直线2和直线1最多只有一个交点,直线3和直线1,2最多有两个交点,……,直线n 和其他n-1条直线最多有n-1个交点。由此得出n条直线互不平行且无三线共点的最多交点数:
Max = 1 +2 +……+(n-1)=n(n-1)/2;
这些直线有多少种不同的交点数
当n = 1, 2, 3时情况很容易分析。当n = 4 时,我们可以按如下分类方法,逐步计算。
1. 四条直线全部平行,无交点。
2. 其中三条平行,交点数: 3*(n-3)+0 = 3;
3. 其中两条平行,而另外两条直线的交点既可能平行也可能相交,因此交点数据分别为:
2*(n-2) + 0 = 4
2*(n-2) + 1 = 5
4. 四条直线互不平行, 交点数为1*(n-1) + {3条直线的相交情况}:
1*(n-1)+0=3
1*(n-1)+2=5
1*(n-1)+3=6
即n=4时,有0, 3, 4, 5, 6个不同的交点数.所以有5种可能。
从上述n=4的分析过程中,发现:
m条直线的交点数=r条平行线与m-r条直线交叉的交点数+ m-r条直线本身的交点数 =r*(m-r) + m-r条直线之间的交点数。(1<=r<=m)
{m条直线的交点数集合} = U { r条平行线与m-r条直线交叉的交点数 + {m-r条直线本身的交点数集合} } = U { r*(m-r) + {m-r条直线之间的交点数集合} }。(1<=r<=m)
注意:数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。
如何编写程序?
程序框架如下:
//Ui表示i条直线的交点数集合
初始化U0= {0}, U1= {0}
For n = 2 to N
Un = {} //初始化Un为空集
For i = 1 to n //i表示平行线个数
Un =Un U { i*(n-i) + Un-i} //并运算
注意:数和集合相加 = 数和集合中每个元素相加组成的新集合。
用C++代码实现,我们可以用set集合,最简单的方法是用数组表示交点数集合。
二维数组 p[i][j] 表示i条直线,j个交点数是否存在。存在值为1,不存在值为0.
#include <stdio.h>
int main()
{
int p[21][200], n; //200为交点数的上限,交点数为1+2+3+…(n-1)
memset(p, 0, sizeof(p));
for(int i=0; i<21; i++)
p[i][0]=1; //不管多少直线都存在0个交点的情况,即所有直线平行
for(int n=2; n<21; n++) //动态规划p[i][j]表示i条直线,交点数为j.当 p[i][j]=1,则表示i条直线中,存在交点数为j的情况
for(int i=1; i < n; i++) //n条直线平行的情况已经考虑了,无需重复
for(int j=0; j<200; j++)
{
if(p[n-i][j]==1)
p[n][j+i*(n-i)]=1;
}
while (scanf("%d", &n) != EOF)
{
for (j=0; j <= n*(n-1)/2; j++) //n*(n-1)/2能形成的最大交点数
{
if (f[n][j])
printf("%d ",j);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
这个是转载别人的,感觉好强大,我一直在想:我怎么当我知道i(n-i)条直线平行时,我又怎么可以把n-i条剩余的直线的所有可能加上去呢。加上去后我怎么存储呢?
而这个程序他运用了逆向的思想,从头到尾做出了所有可能的表格 。要不然怎么叫做规划呢?而且还是动态的?
首先他用i行表示多少条线,用数组元素为1表示该元素的j为可能存在的交点个数。
然后从数组2行开始往后规划,规划的方法是:i条线平行。n-i条线得出行数存在的交点情况加上i(n-i),然后在相应得到交点数赋值为1
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