acdream 数树专题--完美数（数位dp）

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 题目：完美数
 题目链接：http://www.acdream.net/problem.php?id=1083
 题目描述：在[L , R] 的正整数区间内，要么包含3 要么包含 8 的不同的整数有多少个？
 
 解题思路：数位dp；
 
 这题主要求出[0,n]区间内有多少个这样的数；
 则[L,r]=[0,r]-[0,l-1];

 先求出每位数以内有多少这样的数，比如：
 dp[i][1]表示在i位数中只包含3不包含8的数的个数
 dp[i][2]表示在i位数中只包含8不包含3的数的个数，
 dp[i][3]表示在i位数中既不包含8也不包含3的数的个数。
 
 注：i位数就是[0,10^i)以内的数；
 
 这有状态方程转移为：
 dp[i][1]=dp[i-1][3]+dp[i-1][1]*9; //表示这一位取3，前面所有的位既不含8也不含3，加上这一位不取8(剩下9个数)，上一位数中只取3的数
 dp[i][2]=dp[i-1][3]+dp[i-1][2]*9; //表示这一位取8，前面所有的位既不含8也不含3，加上这一位不取3(剩下9个数)，上一位数中只取3的数
 dp[i][3]=dp[i-1][3]*8;     //表示这一位既不取8也不取3，上一位也既不取3，8的数，那么这一位能取的个数就是8；

 我们求出某位数之内有多少个这样的数之后，接下来就是逐位分析了；

 比如我们要求n以内的所有数，假设n=1386；我们先取n的最高位1,因为最高位是1，那么从0到999以内的数我们可以直接加上(dp[3][1]+dp[3][2])，

 接下来的位是3，那么0-299之内的数我们可以加上3*(dp[2][1]+dp[2][2]),因为是3，我们标记一下3已经出现了，接下来一位是8，我们可以加上0-79
 
 之内的数8*dp[1][1](因为已经出现了3，所以dp[1][2]就不能要了),这里还要注意一下，因为前面出现了3，那么我们还要加上8*dp[1][3]。又因为现在
 
 出现了8，再往下就没意义了(8和3不能同时出现)，最后答案就是上面的所有数的和。

 如果不是因为3和8矛盾跳出循环的，还要考虑最后一位的数字；
 
 注意：逐位分析的时候一定要充分考虑位的相关性，以下是我的代码；

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#include<stdio.h>#include<string.h>int dp[15][4];void init(){int i;memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0][3]=1;dp[1][1]=1;dp[1][2]=1;dp[1][3]=8;for(i=2;i<11;i++){dp[i][1]=dp[i-1][3]+dp[i-1][1]*9;dp[i][2]=dp[i-1][3]+dp[i-1][2]*9;dp[i][3]=dp[i-1][3]*8;}}int find(int n){int digit[10],i,cnt,tag1=0,tag2=0;if(n<3)return 0;int sum=0,len=0;while(n){digit[++len]=n%10;n/=10;}for(i=len;i>0;i--){if(tag1&&tag2)break;cnt=0;if(tag1||tag2)sum+=digit[i]*(dp[i-1][3]);if(digit[i]>3){cnt++;if(!tag1) sum+=dp[i-1][2]+dp[i-1][3];if(tag1||tag2) sum-=dp[i-1][3];}if(digit[i]>8){cnt++;if(!tag2) sum+=dp[i-1][3]+dp[i-1][1];if(tag1||tag2) sum-=dp[i-1][3];}if(!tag2)sum+=(digit[i]-cnt)*(dp[i-1][1]);if(!tag1)sum+=(digit[i]-cnt)*(dp[i-1][2]);if(digit[i]==3)tag2=1;else if(digit[i]==8)tag1=1;}if(tag1==1-tag2)sum++;return sum;}int main(){int cas,i,l=0,r,sum=0;init();scanf("%d",&cas);while(cas--){scanf("%d%d",&l,&r);if(l>r){i=l;l=r;r=i;}r=find(r);l=find(l-1);printf("%d\n",r-l);}return 0;}

 

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   记忆化搜索版-（原理不变，代码更简洁）
 
 （记忆化搜索版）数位dp资料详见博客：http://www.cppblog.com/Yuan/archive/2011/07/15/139299.html

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#include<stdio.h>#include<string.h>int dp[11][3],digit[11];int dfs(int pos,int pre,int doing){int i,now,ans=0;if(pos==0) return pre>0;if(!doing&&dp[pos][pre]!=-1)return dp[pos][pre];now=doing?digit[pos]:9;for(i=0;i<=now;i++){if(i==3) ans+=(pre!=2)?dfs(pos-1,1,doing&&i==now):0;else if(i==8) ans+=(pre!=1)?dfs(pos-1,2,doing&&i==now):0;else ans+=dfs(pos-1,pre,doing&&i==now);}if(!doing) dp[pos][pre]=ans;return ans;}int cal(int n){if(n<3)return 0;int len=0;while(n){ digit[++len]=n%10;n/=10;}return dfs(len,0,1);}int main(){memset(dp,-1,sizeof(dp));int cas,l,r;scanf("%d",&cas);while(cas--){scanf("%d%d",&l,&r);printf("%d\n",cal(r)-cal(l-1));}return 0;}