01背包问题

  动态规划中很经典的问题，去年暑假集训的时候看过，下午又遇到了这种类型的题目，发现什么都不懂了，又翻看了之前的资料，就是陷入了一个坑里了，不明白对空间进行优化的要采用逆序，足足三个小时啊。。。我是不是太笨了？？？不过还好，终于理解了，我想应该也有不少童鞋跟我一样，就用自己的理解方式拿出来共享下

 

      首先我们看未进行优化的时候的动态规划方程的推导过程。01背包是指有N件物品和一个容量为V的背包，每件物品只有一件，所占用的空间为cost[i],花费为w[i],求将这些物品放入背包中所能获得的最大的价值。

      假设dp[i][v]表示第i件物品放入背包时获得的最大的价值，每件物品都可以选择放或者不放，故动态规划方程可以列成：dp[i][v]=max{dp[i-1][v],dp[i-1][v-cost[i]+w[i]} ,意思就是第I件物品不放 进去的总价值为dp[i-1][v],放进去的价值为dp[i-1][v-cost[i]]+w[i],比较两种情况下的最优解。

      即对每件物品进行考虑，

         for(i->n)

            for(0->v)

                 dp[i][v]=max{dp[i-1][v],dp[i-1][v-cost[i]+w[i]};

      考虑到空间可以从二维数组降低到一位数组,用dp[v]表示前i件物品放入背包的最大价值。i=0->n循环后dp[v]表示的就是最优解。

   那么方程可表示为

    dp[v]=max{dp[v],dp[v-cost[i]]+w[i]},

   那么dp[v]怎么才能表示前一个状态的值呢？逆序，for(v->0)，为什么？考虑到价值均为正值，体积大的时候的解是依赖于体积小的解的，而且每个物品只能放置一次，假设v1<v2,如果顺序循环的话，就会出现当更新dp[v2]时，加入了物品i，然后才循环到体积v2，就可能出现dp[v2]也会因为i加入出现更新，也就是在这个过程中i加入了两次，与01背包不符。逆序的话，当dp[v2]更新的时候dp[v1]还未出现更新，这时方程中后一个dp[v]就可以看成dp[i-1][v]了，dp[v]在优化后也就可以表示前一个状态了（体积小的）。

 

     关于初始化问题的时候要考虑如下两种方式：

     （1）刚好完全填满背包

           这就要求当容量为0的时候，只能被价值为0的物品填满，即初始化为dp[0]=0;

     （2）不要求刚好填满

           也就是每一个体积的情况下都有一个有效解为0，所以初始化为dp[0...v]=0.