hdu1568Fibonacci（公式变形）

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题目大意：中文题，略。

题目分析：要求10^9内任意菲波数的高4位，把每个菲波数求出来是不可能的，所以考虑从公式入手。

斐波那契数列公式：fn = 1/√5 [ ((1 + √5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n].公式并不复杂，但是如果直接代进去算的话由于n会非常大，所以会TLE，必须对公式处理一下。

因为指数n会特别大，所以要对公式降阶处理：公式两边同时以10为底取对数：

log10(fn) = log10(1/√5) + log10[((1 + √5)/2)^n - ((1 - √5)/2)^n]

= log10(1/√5) + log10[((1 + √5)/2)^n * (1 + ((1 - √5)/(1 + √5))^n]  (因为(1 - √5) / 2 是个负数，所以不能直接将上面的式子分解，处理一下)

= log10(1/√5) + n * log10[(1 + √5)/2] + log10[1 + ((1 + √5)/(1 - √5))^n]

考虑到最后一项：log10[1 + ((1 + √5)/(1 - √5))^n] = log10[1 + ((√5 - 3)/2)^n]，期中(√5 - 3)/2 ≈ -0.2，再n次方后更小，所以此项趋近于0，对结果影响较小，可以忽略（为什么，想一想）。

接下来我们看答案：fn = 10^(log10(fn))，经过一处理，发现这里的指数部分还是很大，设指数部分为t，显然这个t是个浮点数，将t分成2部分：t = t0 + t1;t0代表t的整数部分，t1代表t的小数部分。fn = 10^t0 * 10 ^ t1，10^t0表示1后面跟t0个0，对fn的各位数字并无影响，而决定fn各位数数字的就是t1！所以我们只需要求出10^t1即可！这个运算量还是可以接受的，由于处理过程中我们当n比较大的时候忽略了第三项，所以当n很小的时候计算出来的结果会有误差，所以我们解决的方案是——打表！！！

详情请见代码：

#include <iostream>#include<cmath>#include<cstdio>using namespace std;int n;double ans1;//fibonacci公式:fn = 1/sqrt(5) * [(1 + sqrt(5))^n - (1 - sqrt(5))^n];int fibo[21] = {0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765};//打表输出所有的5位数以内的斐波数，至少21个，少了会WA，因为精度会有损失！int main(){    //printf("%d\n",(int)pow(10,3.123));    //printf("%d\n",(int)pow(10,3.12));    //printf("%d\n",(int)pow(10,3.1));    //printf("%lf\n",pow(10,0.123));    while(scanf("%d",&n) != EOF)    {        if(n < 21)        {            printf("%d\n",fibo[n]);            continue;        }        ans1 = log10(1.0 / sqrt(5.0)) + log10((1.0 + sqrt(5.0)) / 2.0) * n;        ans1 = ans1 - (int)ans1;        ans1 = pow(10.0,ans1);        //printf("%lf\n",ans1);        while(ans1 < 1000)            ans1 = ans1 * 10;        int ans = (int)ans1;        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}//15MS340K