01背包问题

问题描述

01背包: 有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

问题分析

利用动态规划来解决。动态规划的两个特征：最有子结构、重叠子问题。

w[i]为第i件物品的重量，p[j]为第j件物品的价值。DP[i][j]表示从前i件物品中选择组合，能获得的最大价值。

假设我们想知道N=5件物品放入容量M=10的包中的最大价值，只要求出DP[5][10]即可。

如何求呢？

我们先考虑第5件商品要不要放入背包，分两种情况：

一、如果第5件商品的重量w[5]大于背包的总容量，则它无法放入背包。那么DP[5][10]=DP[4][10];

二、如果w[5]小于等于背包的总容量，则他可以放入背包，此处又分为两种情况：

（1）第5件商品放入背包，此时DP[5][10]=DP[4][10-w[5]]+p[5]，因为放入了商品5，容量只剩下10-w[5]，此时只要再考虑这个容量下前4件商品放入的情况就可以了。

（2）第5件商品不放入背包，此时DP[5][10]=DP[4][10]，只需要考虑前4个商品在10个容量中的情况，与情况一相同。

对于二（1）和二（2）两种情况，因为我们要得到的是最大的价值总和，所以要取其中较大的情况。

按照以上的分析，我们就可以逆向递推计算，最终得到DP[5][10]。

以上过程可以归纳出一般化的状态转移方程：

DP[i][j]=max{DP[i-1][j],DP[i-1][j-w[i]]+p[i]}

下面这篇文章利用了实际的例子，比较清晰：

http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384

问题解决

以下是我的代码实现，请大家指正~

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define capacity 10int main(int argc, char *argv[]){int i,j;int Weight[]={0,3,4,1,2,6,4,8,9,3,4,2,7,5,1,9};int Price[]= {0,6,3,1,6,2,2,4,7,1,2,5,3,8,3,6};int count=sizeof(Price)/sizeof(int);int DP[count][capacity+1];memset(DP,0,sizeof(DP));for(i=1;i<count;i++){for(j=1;j<capacity+1;j++){            DP[i][j]=DP[i-1][j];if(j>=Weight[i]){int tmp1=DP[i-1][j],tmp2=DP[i-1][j-Weight[i]]+Price[i];//此处赋值是为了编写时调试方便DP[i][j]=tmp2>tmp1?tmp2:tmp1;}}}for(i=0;i<count;i++){for(j=0;j<capacity+1;j++){printf("%d ",DP[i][j]);}printf("\n");}system("pause");return 0;}