卡特兰数

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void *memset(void *s,int ch,size_t n);

函数解释：将 s 中前 n 个字节用 ch 替换并返回 s 。

头文件：#include

 

//卡特兰数：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)(n>=2)

 

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

 

h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

 

 

卡特兰数：规定h(0)＝1，而h(1)＝1，h(2)＝2，h(3)＝5，h(4)＝14，h(5)＝42，h(6)＝132，h(7)＝429，h(8)＝1430，h(9)＝4862，h(10)＝16796，h(11)＝58786，h(12)＝208012，h(13)＝742900，h(14)＝2674440，h(15)＝9694845···

 

1,1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012,742900, 2674440, 9694845, 35357670, …

 

应用：

1、括号化

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

f(n) = f(1)*f(n-1) + f(2)*f(n-2) + f(3)*f(n-3) +f(n-1)*f(1)

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)(n>=2)

f(n) =h(n-1)   （ n>=3 ）(因为h（n）中，n>=2)

2、出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

   n个数的进栈次序和出栈次序构成了一个含2n个数字的序列。第0个数字肯定是进栈的数，这个数相应的出栈的数一定是第2i+1个数。因为如果是2i，那么中间包含了奇数个数，这奇数个肯定无法构成进栈出栈序列。

设问题的解为f(2n)，那么

f(2n) = f(0)*f(2n-2) + f(2)*f(2n-4) +f(2n-2)*f(0)

f(2n) = h(n)。

 

类似问题：

n对括号有多少种匹配方式？（h（n） ）

3、凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。现在的任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14

分析：因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：

f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。

f（n）=h（n-2）（n=2，3，4，……）。

最后，令f（2）=1，f（3）=1。

 

思路：以凸多边形的一边为基，设这条边的2个顶点为A和B。从剩余顶点中选1个，可以将凸多边形分成三个部分，中间是一个三角形，左右两边分别是两个凸多边形，然后求解左右两个凸多边形。

设问题的解f(n)，其中n表示顶点数，设f(2) = 1，那么f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 5。f(2)*f(n-1)表示三个相邻的顶点构成一个三角形，那么另外两个部分的顶点数分别为2和n-1。那么

f(n) = f(2)*f(n-1) + f(3)*f(n-2) +......f(n-2)*f(3) + f(n-1)*f(2)。

f(n) = h(n-2)。

 

类似问题：

在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

思路：以其中一个点为基点，编号为0，然后按顺时针方向将其他点依次编号。那么与编号为0相连点的编号一定是奇数，否则，这两个编号间含有奇数个点，势必会有个点被孤立，即在一条线段的两侧分别有一个孤立点，从而导致两线段相交。设选中的基点为A，与它连接的点为B，那么A和B将所有点分成两个部分，一部分位于A、B的左边，另一部分位于A、B的右边。然后分别对这两部分求解即可。

设问题的解f(n)，那么

f(n) = f(0)*f(n-2) + f(2)*f(n-4) + f(4)*f(n-6) +......f(n-4)*f(2) + f(n-2)*f(0)。

f(0)*f(n-2)表示编号0的点与编号1的点相连，此时位于它们右边的点的个数为0，而位于它们左边的点为2n-2。依次类推。

f(0) = 1, f(2) = 1, f(4) = 2。结合递归式，不难发现

f(2n) =h(n)。

 

Cn = n*n 的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数；

4、给定节点组成二叉树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？（能构成h（N）个）（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

思路：可以这样考虑，根肯定会占用一个结点，那么剩余的n-1个结点可以有如下的分配方式，T(0, n-1),T(1, n-2),...T(n-1, 0)，设T(i, j)表示根的左子树含i个结点，右子树含j个结点。

设问题的解为f(n)，那么

假设f(0) = 1，那么f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) =5。

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + .......+f(n-2)*f(1) + f(n-1)*f(0)。

f(n) = h(n).

 

实例：

1、描述：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？

    思路：可以将持5元买票视为进栈，那么持10元买票视为5元的出栈。这个问题就转化成了栈的出栈次序数。由应用2的分析直接得到结果，

f(2n) = h(n)*n!*n!。（后面的*n!*n!为进出栈的排列）

 

2、拥有n+1个叶子节点的二叉树的数量为h(n)

 

 

编程实例：

// 使用公式计算：h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

 

#include

#include

using namespace std;

//h(n ) = h(n-1)*(4*n-2) / (n+1)

int catelan1(int n)

{

   if(n==0) return 1;

    elsereturn catelan1(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

}

 

//h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)(n>=2)

int catelan2(int n)

{

    inti,j,h[100];

   memset(h, 0, sizeof(h));

   h[0]=h[1]=1;

    for(i=2; i<=n; i++)

    for(j=0; j

        h[i] += h[j]*h[i-1-j];

    return h[n];

}

//h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

int Cn(int n)

{

    inti,sum=1;

   for(i=1; i<=n; i++)

   sum*=i;

   return sum;

}

int catelan3(int n)

{

   return Cn(2*n)/Cn(n)/Cn(n)/(n+1);

}

int main()

{

   for(int i=0; i<=10; i++)

   cout<<"h("<<i<<"):"<<catelan1(i)<<endl;

}

 

运行结果：

h(0):1

h(1):1

h(2):2

h(3):5

h(4):14

h(5):42

h(6):132

h(7):429

h(8):1430

h(9):4862

h(10):16796

 

Process returned 0(0x0)   execution time : 0.234s

Press any key to continue.

公式3有点问题。。。

 

还有一种分级排列法，没怎么看明白。。。