01背包问题
来源:互联网 发布:做seo有前途吗 编辑:程序博客网 时间:2024/05/06 11:05
下面对01背包问题做个小结。
首先是自己刚开始有些疑惑的地方就是内层循环的顺序,到底是从大到小还是从小到大,其实当你用二维数组的时候可以从小到大,要是一维数组就必须从大到小,下面红色部分解释了为什么。
题目
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i],价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思路
这是最基础的背包问题,特点是:每种物品仅有一件,可以选择放或不放。
用子问题定义状态:即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[i-1][v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V),其中时间复杂度基本已经不能再优化了,但空间复杂度却可以优化到O(V)。
先考虑上面讲的基本思路如何实现,肯定是有一个主循环i=1..N,每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么,如果只用一个数组f[0..V],能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢?f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来,能否保证在推f[i][v]时(也即在第i次主循环中推f[v]时)能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢?事实上,这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v],这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。
for i=1..N
forv=V..cost[i]
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
//要是从0到v则v-c[i]大小的f已经计算过,这个f当时可能选择加i,可能含有i了
其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]},因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话,那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知,与本题意不符。
- 背包问题---01背包
- DP 背包问题 01背包
- 01背包--苹果,背包问题
- 01背包 完全背包问题
- 背包问题之01背包
- 背包问题之01背包
- 背包问题1:01背包
- 背包问题《1》01背包
- 01背包+完全背包问题
- 背包问题-背包01-苹果
- 背包问题之01背包
- 背包问题(01背包,完全背包,多重背包)
- 背包问题(01背包,完全背包,多重背包)
- 动态规划-----背包问题-----01背包,完全背包,多重背包
- 经典背包问题 01背包+完全背包+多重背包
- 背包(01背包、完全背包、多重背包)问题总结
- 背包问题(01背包,完全背包,多重背包)
- 经典背包问题 01背包+完全背包+多重背包
- java jdbc访问数据库步骤
- Storm 集群安装
- Quartz的cron表达式
- HDU 1709 母函数
- Maya: 菜单 编辑NURBS >取消修剪曲面
- 01背包问题
- 专门用来放图的
- C语言中的各种修饰符
- 各种常用数据库的连接
- 执行力
- VS2012 插件 添加Copyright
- Maya: 菜单 编辑NURBS >布尔
- debug 错误
- 【java】在win7下进行安卓调试环境的搭建。