动态规划之Help Jimmy

场景中包括多个长度和高度各不相同的平台。地面是最低的平台，高度为零，长度无限。

    Jimmy老鼠在时刻0从高于所有平台的某处开始下落，它的下落速度始终为1米/秒。当Jimmy落到某个平台上时，游戏者选择让它向左还是向右跑，它跑动的速度也是1米/秒。当Jimmy跑到平台的边缘时，开始继续下落。Jimmy每次下落的高度不能超过MAX米，不然就会摔死，游戏也会结束。

    设计一个程序，计算Jimmy到地面时可能的最早时间。

输入数据

n 第一行是测试数据的组数t（0<= t <= 20）。每组测试数据的第一行是四个整数N，X，Y，MAX，用空格分隔。N是平台的数目（不包括地面），X和Y是Jimmy开始下落的位置的横竖坐标，MAX是一次下落的最大高度。接下来的N行每行描述一个平台，包括三个整数，X1[i]，X2[i]和H[i]。H[i]表示平台的高度，X1[i]和X2[i]表示平台左右端点的横坐标。1<=N <= 1000，-20000 <= X, X1[i],X2[i] <= 20000，0< H[i] < Y <= 20000（i= 1..N）。所有坐标的单位都是米。

n Jimmy的大小和平台的厚度均忽略不计。如果Jimmy恰好落在某个平台的边缘，被视为落在平台上。所有的平台均不重叠或相连。测试数据保Jimmy一定能安全到达地面。

输出要求

对输入的每组测试数据，输出一个整数，Jimmy到地面时可能的最早时间。

输入样例

1

38 17 20

010 8

010 13

414 3

输出样例

23

思路：

n 此题目的“子问题”是什么呢？

n Jimmy跳到一块板上后，可以有两种选择，向左走或向右走。走到左端和走到右端所需的时间，容易算出。

n如果我们能知道，以左端为起点到达地面的最短时间，和以右端为起点到达地面的最短时间，那么向左走还是向右走，就很容选择了。

n因此，整个问题就被分解成两个子问题，即Jimmy 所在位置下方第一块板左端为起点到地面的最短时间，和右端为起点到地面的最短时间。这两个子问题在形式上和原问题是完全一致的。

n 将板子从上到下从1开始进行无重复的编号(高度相同的板子，哪块编号在前无所谓)，那么，和上面两个子问题相关的变量就只有板子的编号。

n所以，本题目的“状态”就是板子编号，而一个“状态”对应的“值”有两部分，是两个子问题的解，即从该板子左端出发到达地面的最短时间，和从该板子右端出发到达地面的最短时间。

n 不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，假设LeftMinTime(k)表示从k号板子左端到地面的最短时间，RightMinTime(k)表示从k号板子右端到地面的最短时间，那么，求板子k左端点到地面的最短时间的方法如下：

if ( 板子k左端正下方没有别的板子)

{

    if( 板子k的高度 h(k) 大于Max)

        LeftMinTime(k) = ∞;

    else

        LeftMinTime(k) = h(k);

}

else if( 板子k左端正下方的板子编号是m )

    LeftMinTime(k) = h(k)-h(m) +

                                    Min(LeftMinTime(m)+Lx(k)-Lx(m),

                                            RightMinTime(m)+Rx(m)-Lx(k));  

n上面，h(i)就代表i号板子的高度，Lx(i)就代表i号板子左端点的横坐标，Rx(i)就代表i号板子右端点的横坐标。那么 h(k)-h(m)当然就是从k号板子跳到m号板子所需要的时间，Lx(k)-Lx(m)就是从m号板子的落脚点走到m号板子左端点的时间，Rx(m)-Lx(k)就是从m号板子的落脚点走到右端点所需的时间。

n 求RightMinTime(k)的过程类似。

n 不妨认为Jimmy开始的位置是一个编号为0，长度为0的板子，那么整个问题就是要求LeftMinTime(0)。

n输入数据中，板子并没有按高度排序，所以程序中一定要首先将板子排序。

code：

import java.io.PrintWriter;import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Main {    static Scanner scin = new Scanner(System.in);    static PrintWriter scout = new PrintWriter(System.out);    static int max = 0;    static int n = 0;    static final int INFINITE = 100000000;    static Platform[] list;    static int[] leftMinTime;    static int[] rightMinTime;    public static void main(String[] args) {        int size = scin.nextInt();        while (size-- > 0) {            n = scin.nextInt(); // n个平台            list = new Platform[n + 1];            leftMinTime = new int[n + 1];            rightMinTime = new int[n + 1];            Platform t = new Platform();            int x = scin.nextInt(); // 开始的落点            t.left = x;            t.right = x;            t.height = scin.nextInt(); // 开始的高度            list[0] = t;            max = scin.nextInt(); // 下降的最大的高度            for (int i = 1; i <= n; i++) {                Platform p = new Platform();                p.left = scin.nextInt();                p.right = scin.nextInt();                p.height = scin.nextInt();                list[i] = p;            }            Arrays.sort(list);            scout.println(minTime());            scout.flush();        }        scout.close();    }    // 递推    static int minTime() {        int result = INFINITE;        leftMinTime[0] = list[list.length - 1].height;        rightMinTime[0] = list[list.length - 1].height;        int i = 1;        for (; i <= n; i++) {            Platform hForm = list[list.length - i - 1];            Platform lForm = list[list.length - i];            int deltaH = hForm.height - lForm.height;            if (deltaH > max) {                leftMinTime[i] = INFINITE;                rightMinTime[i] = INFINITE;            }            if (hForm.left >= lForm.left && hForm.left <= lForm.right)                leftMinTime[i] = min(leftMinTime[i - 1] + hForm.left - lForm.left, rightMinTime[i - 1] + lForm.right                    - hForm.left) + deltaH;            else                leftMinTime[i] = INFINITE;            if (hForm.right >= lForm.left && hForm.right <= lForm.right)                rightMinTime[i] = min(leftMinTime[i - 1] + hForm.right - lForm.left, rightMinTime[i - 1] + lForm.right                    - hForm.right) + deltaH;            else                rightMinTime[i] = INFINITE;        }        result = min(leftMinTime[n], rightMinTime[n]);        return result;    }    private static int min(int a, int b) {        return a < b ? a : b;    }    // 递归    static int minTime(int l, boolean bLeft) {        int h = list[l].height;        int x = 0;        int i = 0;        if (bLeft)            x = list[l].left;        else            x = list[l].right;        for (i = l + 1; i <= n; i++)            if (list[i].left <= x && list[i].right >= x)                break;        if (i <= n) {            if (h - list[i].height > max)                return INFINITE;        }        else {            if (h > max)                return INFINITE;            else                return h;        }        int leftTime = h - list[i].height + x - list[i].left;        int rightTime = h - list[i].height + list[i].right - x;        if (leftMinTime[i] == 0)            leftMinTime[i] = minTime(i, true);        if (rightMinTime[i] == 0)            rightMinTime[i] = minTime(i, false);        leftTime += leftMinTime[i];        rightTime += rightMinTime[i];        if (leftTime < rightTime)            return leftTime;        return rightTime;    }}class Platform implements Comparable<Platform> {    int left;    int right;    int height;    public int compareTo(Platform o) {        return o.height - this.height;    }}