动态规划 多重部分和 最长上升子序列 划分数 多重集组合数

一.题意

给定整数a1、a2、.......an，每种数各mi个,判断是否可以从中选出若干数，使它们的和恰好为K。

二.解法

2.1 暴力解法

代码如下

int n;//数列长度int K;//目标和数int a[MXN];//值int m[MXN];//个数bool dp[MXN+1][MXK+1];int Fun(){    dp[0][0]=1;    for(int i=0;i<n;++i)        for(int j=0;j<=K;++j)            for(int k=0;k<=m[i]&&k*a[i]<=j;++k)                dp[i+1][j]|=dp[i][j-k*a[i]];    return dp[n][K];}

2.2 优化解法

代码如下

void Fun(){    memet(dp,-1,sizeof(dp)):    dp[0]=0;    for(int i=0;i<n;++i)        for(int j=0;j<=K;++j)            if(dp[j]>=0)                dp[j]=m[i];            else if(j<a[i]||dp[j-a[i]]<=0)                dp[j]=-1;            else                dp[j]=dp[j-a[i]]-1;    return dp[K]>=0;}

二.最长上升子序列

1.暴力解法

代码

void Fun(){    int res=0;    for(int i=0;i<n;++i){        dp[i]=1;        for(int j=0;j<i;++j)if(a[j]<a[i]){            dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);        }        res=max(res,dp[i]);    }    return res;}

2.优化解法

int Fun(){    fill(dp,dp+n,INF);    for(int i=0;i<n;++i)        *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];    return lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp;}

Tips:lower_bound的高级用法

三.划分数

题意:有n个无区别的物品,将它们划分成不超过m组,称为n的m划分,求出划分方法

int Fun(){    dp[0][0]=1;    for(int i=1;i<=m;++i)        for(int j=0;j<=n;++j)            if(j-i>=0)                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i]            else                dp[i][j]=dp[i-1][j];    return dp[m][n];}

四.多重集组合数

         n种物品,第i种有ai个,不同种类的物品可以互相区分,相同种类不能区分,从这些物品取出m个.有多少种方法

int Fun(){    for(int i=0;i<=n;++i) dp[i][0]=1;    for(int i=0;i<n;++i)        for(int j=1;j<=m;++j)            if(j-1-a[i]>=0)                dp[i+1][j]=dp[i+1][j-1]+dp[i][j]-dp[i][j-1-a[i]];            else                dp[i+1][j]=dp[i+1][j-1]+dp[i][j];    return dp[n][m];}