多重集组合数（动态规划（DP））

注：文章内容源自《挑战程序设计竞赛》（第二版）

原题

多重集组合数

有 n 种物品，第 i 种物品有 ai 个。不同种类的物品可以相互区分但是相同的种类无法区分。从这些物品中取出 m 个的话，有多少种取法？求出方案数模M的余数。

1<=n<=1000

1<=m<=1000

1<=ai<=1000

2<=M<=10000

样例输入

n=3

m=3

a={ 1,2,3 }

M=10000

样例输出

6 (0+0+3,0+1+2,0+2+1,1+0+2,1+1+1,1+2+0)

涉及知识及算法

为了不重复计数，同一种类的物品最好一次性处理好。我们可以这样定义：

dp[i+1][j]:=从前i种物品中取出j个的组合总数

为了从前i种物品中取出j个，可以从前i-1个物品中取出j-k个，再从第i种物品中取出k个添加进来，所以得到如下递推关系：

dp[i+1][j]=∑k=0 min(j,ai) dp[i][j−k]

复杂度为O(nm^2)，不过有

dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i][j-1]+...+dp[i−1][j−ai] ,

dp[i+1][j−1]=dp[i][j−1]+...+dp[i][j−ai−1]

所以dp[i+1][j]=dp[i][j]+dp[i+1][j-1]-dp[i][j-ai-1]

这样复杂度就下降到O(nm)了。

代码

int n,m;int a[MAX_N];int dp[MAX_N+1][MAX_M+1];void solve(){    //一个都不取的方法总是只有一种    for(int i=0;i<=n;i++)    {        dp[i][0]=1;    }    for(int i=0;i<n;i++)    {        for(int j=1;j<=m;j++)        {            if(j-1-a[i]>=0)            {                //在有取余的情况下，要避免减法运算结果出现负数                dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j]-dp[i][j-1-a[i]]+M)%M;            }            else            {                dp[i+1][j]=(dp[i+1][j-1]+dp[i][j])%M;            }        }    }    printf("%d\n",dp[n][m]);}