筛质数
来源:互联网 发布:360彩票源码 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 17:50
常用的有2种算法,分别有不同的用途。
1、暴力枚举 O(sqrt(n)) 常用于判断单个或少量数是否质数
2、一般的线性筛 O(n^2) 常数挺小,常用于O(1)查找是否质数,但需要开O(n)大小的数组
3、快速线性筛(欧拉筛) O(n),虽然代码表面上看起来时间复杂度并不是O(n)
实现:
1、暴力枚举
代码:
ok = 1;if(n < 2 || n % 2 == 0) ok = 0; //偶数肯定不是elsefor(i = 3; i <= sqrt(n); i += 2) //奇数if(n % i == 0){ok = 0;break;}cout << (ok?"YES":"NO");
2、线性筛
代码:
bool notprime[MAXN];for(i = 2; i <= sqrt(n); i++){j = 2; t = i<<1;while(t<=m) notprime[t] = 1, t = i*(++j);}int ask;cin >> ask;while(ask--){cin >> t;cout << (notprime[t]?"NO":"YES");}
3、欧拉筛
(部分转自http://blog.csdn.net/dinosoft/article/details/5829550)
快速线性筛法没有冗余,不会重复筛除一个数
int prime[MAXN], num_prime = 0; int isNotPrime[MAXN] = {1, 1}; for(int i = 2; i <= N; i++) {if(!isNotPrime[i]) prime[num_prime++] = i; //关键处1 for(int j = 0; j < num_prime && i * prime[j] <= N; j++){isNotPrime[i * prime[j]] = 1;if(!(i % prime[j])) //关键处2break;}}
证明:
首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,
①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等
②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1*p2*...*pn, pi都是素数(2<=i<=n), pi<=pj ( i<=j )
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j] 的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。
我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话,当 i' 等于 i'=3*3*5 时,筛除2*i' 就和前面重复了。
需要证明的东西:
- 一个数会不会被重复筛除。
- 合数肯定会被干掉。
根据上面红字的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*...*pn, pi都是素数(1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时,就是上面①的情况,
当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3...*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。
证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。
类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写
for (i=1; i<n; ++i )
for (j=i+1; j<=n; ++j)
{
/////
}
我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。
- 质数中的质数(质数筛法)
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