求首尾相连数组的最大子序列和

题目描述：

给定一个由N个整数元素组成的数组arr，数组中有正数也有负数，这个数组不是一般的数组，其首尾是相连的。数组中一个或多个连续元素可以组成一个子数组，其中存在这样的子数组arr[i],…arr[n-1],arr[0],…,arr[j]，现在请你这个ACM_Lover用一个最高效的方法帮忙找出所有连续子数组和的最大值（如果数组中的元素全部为负数，则最大和为0，即一个也没有选）。

输入：

输入包含多个测试用例，每个测试用例共有两行，第一行是一个整数n（1=<n<=100000），表示数组的长度，第二行依次输入n个整数（整数绝对值不大于1000）。

输出：

对于每个测试用例，请输出子数组和的最大值。

样例输入：

61 -2 3 5 -1 256 -1 5 4 -7

样例输出：

1014

最容易想到的算法：

#include<cstdio>#define MAX 100005using namespace std;int main(int argc,char *argv[]){int i,j,k;int array[MAX];int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int flag=0;for(i=0;i<n;i++){scanf("%d",&array[i]);if(array[i]>=0)flag=1;}long long sum;long long max=-1001;for(i=0;i<n;i++){sum=array[i];for(j=i+1;j<n;j++){if(sum<0)sum=0;sum+=array[j];if(sum>max)max=sum;}for(k=0;k<i;k++){if(sum<0)sum=0;sum+=array[k];if(sum>max)max=sum;}}if(flag)printf("%lld\n",max);elseprintf("0\n");}return 0;}

很不幸，该算法的时间复杂度为O(n*n)，结果可想而知超时了。。。

那么有木有复杂度为O(n)的算法呢？答案是肯定的

首先我们来分析一下，无非存在以下两种情况：

1，最大子序列没有跨过最后一个元素，那就好办了，就是前面提到过的最大子序列和

2，最大子序列跨过了最后一个元素，那么又该怎么解决呢？

不妨换个思路想一想，求出序列的最小子序列，对于跨过最后一个元素的情况下，那么最小子序列一定是负数。那就好办了，只要求出这两种情况下的较大者就行了。

还可以再进行一下转换：对于跨过最后一个元素的情况有

maxsum=sum-minsum即最大子序列和等于全部的和减去最小子序列的和。

AC代码：

#include<cstdio>#define MAX 100005using namespace std;int Array[MAX];int MaxSum(int n){int i,sum=0;int max=-0xFFFFFFF;sum+=Array[0];for(i=1;i<n;i++){if(sum<0)sum=Array[i];elsesum+=Array[i];if(sum>max)max=sum;}return max;}int MinSum(int n){int i,sum=0;int min=0xFFFFFFF;sum+=Array[0];for(i=1;i<n;i++){if(sum>0)sum=Array[i];elsesum+=Array[i];if(sum<min)min=sum;}return min;}int main(int argc,char *argv[]){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int sum=0;for(int i=0;i<n;i++){scanf("%d",&Array[i]);sum+=Array[i];}int ans;int maxsum=MaxSum(n);int minsum=MinSum(n);if(maxsum<0)//all numbers are negativeans=0;ans=maxsum>(sum-minsum)?maxsum:(sum-minsum);printf("%d\n",ans);}return 0;}