快速幂详解

1.首先说快速幂是用处：

快速幂顾名思义，就是快速算某个数的多少次幂。

其时间复杂度为 O(lgN) 比朴素的O(N)快了不知多少啊！！！

以下以求a的b次方来介绍

2.快速幂的原理：

把b转换成2进制数

该2进制数第i位的权为a^（2^(i-1)）

例如

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二进制是1011

     即： 11 = 2^3*1  +  2^2*0  +  2^1*1  +  2^0*1               

so:我们将a^11转化为算a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)

3.那么要怎么实现呢？？位运算是强大的工具！！

b and 1 //也就是取b的二进制最末位

b shr 1 //就是去掉b的二进制最末位

有了这个强大的工具，快速幂就好实现了！

var a,b,n:int64;

function f(a,b,n:int64):int64;

var t,y:int64;

begin

  t:=1;y:=a;

  while b<>0 do

  begin

    if (b and 1)=1 then t:=t*y mod n;

    y:=y*y mod n; //这里用了一个很强大的技巧,y*y即求出了 a^（2^(i-1)） ←不知道这是什么的看原理

    b:=b shr 1;

  end;

  exit(t);

end;

begin

read(a,b,n); // n是模

write(f(a,b,n));

end.

下面是代码实现比较：

常规求幂

int pow1( int a, int b ){    int r = 1;    while( b-- )        r *= a;    return r;}

二分求幂（一般）

int pow2( int a, int b ){    int r = 1, base = a;    while( b != 0 )    {        if( b % 2 )            r *= base;        base *= base;        b /= 2;    }    return r;}

快速求幂（位操作）

int pow3( int a, int b ){    int r = 1, base = a;    while( b != 0 )    {        if( b & 1 )            r *= base;        base *= base;        b >>= 1;    }    return r;}

快速求幂（更高效率的位运算法）

int pow4(int x, int n){    int result;    if (n == 0)        return 1;    else    {        while ((n & 1) == 0)        {            n >>= 1;            x *= x;        }    }    result = x;    n >>= 1;    while (n != 0)    {            x *= x;        if ((n & 1) != 0)            result *= x;        n >>= 1;    }    return result;}