杭电 2036 改革春风吹满地

改革春风吹满地

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Problem Description

“ 改革春风吹满地,
不会AC没关系;
实在不行回老家，
还有一亩三分地。
谢谢!（乐队奏乐）”

话说部分学生心态极好，每天就知道游戏，这次考试如此简单的题目，也是云里雾里，而且，还竟然来这么几句打油诗。
好呀，老师的责任就是帮你解决问题，既然想种田，那就分你一块。
这块田位于浙江省温州市苍南县灵溪镇林家铺子村，多边形形状的一块地，原本是linle的，现在就准备送给你了。不过，任何事情都没有那么简单，你必须首先告诉我这块地到底有多少面积，如果回答正确才能真正得到这块地。
发愁了吧？就是要让你知道，种地也是需要AC知识的！以后还是好好练吧...

 

 

Input

输入数据包含多个测试实例，每个测试实例占一行，每行的开始是一个整数n(3<=n<=100)，它表示多边形的边数（当然也是顶点数），然后是按照逆时针顺序给出的n个顶点的坐标（x1,y1, x2, y2... xn, yn）,为了简化问题，这里的所有坐标都用整数表示。
输入数据中所有的整数都在32位整数范围内，n=0表示数据的结束，不做处理。

 

 

Output

对于每个测试实例，请输出对应的多边形面积，结果精确到小数点后一位小数。
每个实例的输出占一行。

 

 

Sample Input

3 0 0 1 0 0 1
4 1 0 0 1 -1 0 0 -1
0

 

 

Sample Output

0.5
2.0

 

       认真看懂下面多边形求面积！！

 

 

Problem Analyse

 

求多边形面积

 

Algorithm Analyse

 

可以利用多边形求面积公式：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
其中点(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)为多边形上按逆时针顺序的顶点。

简要证明：
1.我们先简单地从三个点入手(包括原点)。

面积S_△OAB = S_ABCD - S_△OAD - S_△OBC

 

  ·S_ABCD = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2

  ·S_△OAD = x0 × y0 ÷ 2

  ·S_△OBC = (-x1) × y1 ÷ 2

 

S_△OAB    = (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2

        = (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2

公式成立。同理你可以算出其他情况也能符合这个公式。

2.假设该公式对于n个顶点的多边形成立。即：
S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

再加如第n+1点后，面积S' = S + S_△A0AnAn+1

 

  ·S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

  ·S_△A0AnAn+1 = 0.5 * ( (X0*Yn-Xn*Y0) + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )

 

∴S' = S = 0.5 * ( (X0*Y1-X1*Y0) + (X1*Y2-X2*Y1) + ... + (Xn*Yn+1-Xn+1*Yn) + (Xn+1*Y0-X0*Yn+1) )

综上所述，得到公式：S = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
得证！

 

 

 

 

代码如下：

#include<stdio.h>#include<math.h>int main (){   int n,i,x[101],y[101];   double s,m;   while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0)    {       s=0;       for(i=0;i<n;i++)           scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);       x[n]=x[0];y[n]=y[0];       for(i=0;i<n;i++)           s+=x[i]*y[i+1]-x[i+1]*y[i];//调用多边形求面积公式，       m=s/2.0;//为什么要是除2.0而不是除2？因为除2得到的是整型m，这里是浮点型。       printf("%.1lf\n",m);    }   return 0;}