NYOJ737石子合并&NKOJ 圆形操场

NYOJ737石子合并

状态:dp[i][j] 表示i..j堆石子合并成一堆，所需最小力气值

状态转移方程:dp[i][j]=min(dp[i][j-k]+dp[j-k+1][j])  +sum[i][j]条件:j-k>=i,k>=0

求解：dp[1][n]

#include<stdio.h>#define M 201#define INF 1000000000int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M];int main(){int i,j,k,t;while(~scanf("%d",&n))    {for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&stone[i]);for(i=1;i<=n;i++){f[i][i]=0;sum[i][i]=stone[i];for(j=i+1;j<=n;j++)sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j];}for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度{for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点{j=i+len-1;f[i][j]=INF;for(k=i;k<=j-1;k++)//分割点{if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];}}}printf("%d\n",f[1][n]);    }return 0;}

NKOJ 圆形操场

法一：

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规

定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。

编程任务：
对于给定n堆石子,编程计算合并成一堆的最小得分和最大得分。

DP：因为石子绕成一个环，不是一条直线，所以dp[i][j]的含义应为从第i堆开始，合并j堆石子能得到的最优值

则易得状态转移方程为

dp1[i][j]=better(dp1[i][j],dp1[i][k]+dp1[(i+k-1)%n+1][j-k]+sum[i][j]);

#include<stdio.h>#include<string.h>const int INF = 1000000000;#define M 110int dp1[M][M],dp2[M][M];int sum[M][M];int num[M];int min(int a,int b){    return a<b?a:b;}int max(int a,int b){    return a>b?a:b;}int main(){    int  n,i,j,k;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(i=1;i<=n;i++)             scanf("%d",&num[i]);        for(i=1;i<=n;i++)            sum[i][1]=num[i];        for(j=2;j<=n;j++)            for(i=1;i<=n;i++)                sum[i][j]=sum[i%n+1][j-1]+num[i];            for(i=0;i<=n;i++)                dp1[i][1]=dp2[i][1]=0;            for(j=2;j<=n;j++)            {                for(i=1;i<=n;i++)                {                    dp1[i][j]=0;                    dp2[i][j]=INF;                    for(k=1;k<j;k++)                    {                        dp1[i][j]=max(dp1[i][j],dp1[i][k]+dp1[(i+k-1)%n+1][j-k]+sum[i][j]);                        dp2[i][j]=min(dp2[i][j],dp2[i][k]+dp2[(i+k-1)%n+1][j-k]+sum[i][j]);                    }                }            }            int ansmi=INF,ansmx=0;            for(i=1;i<=n;i++)            {                ansmx=max(ansmx,dp1[i][n]);                ansmi=min(ansmi,dp2[i][n]);            }            printf("%d\n%d\n",ansmi,ansmx);    }    return 0;}

法二：转

这道题有一个要注意的地方，那就是红字标注的圆形操场。因为石堆是圆形的，所以有n种合并方式，需要增加一层循环来依次枚举起始堆。这样，会大大增加时间复杂度。

解题思路是动态规划，不经优化的动态规划的时间复杂度是O(n^3)，如果再套一层循环，那么肯定会TLE。

因此需要进行优化。

首先可以构造如下的数组：

a[0],a[1],...,a[n-1],a[n],a[n+1],...,a[2n-2]

即：

a[0],a[1],...,a[n-1],a[0],a[1],...,a[n-2]

这样，经过一次DP就可以算出最值，从而去掉了循环，降低了一个维度。

对于DP，最小值可以用四边形不等式优化。注意：求最大值不能用四边形不等式，因为最大值不满足单调性，但最大值有一个性质，即总是在两个端点的最大者中取到。

即max[i][j] = max{max[i][j-1],max[i+1][j]| + sum[i][j] (sum[i][j]是第i堆到第j堆的石子总数)

经过优化，算法复杂度可以减少至O(n^2)。

#include #define MAXN 200#define MAX_INT 0x7fffffff;#define MIN_INT 0xffffffff;int sum[MAXN][MAXN];int s[MAXN][MAXN];      //最小值决策量sint max[MAXN][MAXN];int min[MAXN][MAXN];int mmin,mmax;void MergeStone(int n){    int i,j,k,r; //r表示间距    mmin = MAX_INT;    mmax = MIN_INT;    for(r = 2; r <= n; r++) //计算第i堆到第j堆的总石子数 间距到n为止    {        for (i = 0; i < 2*n-r; i++)        {            j = i + r - 1;            sum[i][j] = sum[i][j-1] + sum[j][j];            min[i][j]  = MAX_INT;            for (k = s[i][j-1]; k <= s[i+1][j]; k++)            {                int t = min[i][k] + min[k+1][j] + sum[i][j];                if (t                {                    min[i][j] = t;                    s[i][j] = k;                }            }            if (max[i][j-1] > max[i+1][j])                max[i][j] = max[i][j-1] + sum[i][j];            else                max[i][j] = max[i+1][j] + sum[i][j];            if (i == (j+1)%n)            {                if(max[i][j] > mmax)                    mmax = max[i][j];                if(min[i][j] < mmin)                    mmin = min[i][j];            }        }    }}int main(){    int n,i;    while(scanf("%d",&n) && n)    {        mmax = 0;        mmin = 0;        for(i=0; i        {            scanf("%d",&sum[i][i]);            min[i][i] = 0;            max[i][i] = 0;            s[i][i] = i;        }        for(i=n; i<2*n-1; i++)        {            min[i][i] = 0;            max[i][i] = 0;            s[i][i] = i;            sum[i][i] = sum[i%n][i%n];        }        if (n>1)            MergeStone(n);        printf("%d %d\n",mmin,mmax);    }    return 0;}