蓝桥杯 最短路 道路和航路 SPFA算法

1.SPFA算法

  算法训练 最短路  

时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB

      

锦囊1

使用最短路算法。

锦囊2

使用Dijkstra算法，此图的边数比点数的平方要少很多，因此应该使用带堆优化的Dijkstra。

问题描述

给定一个n个顶点，m条边的有向图（其中某些边权可能为负，但保证没有负环）。请你计算从1号点到其他点的最短路（顶点从1到n编号）。

输入格式

第一行两个整数n, m。

接下来的m行，每行有三个整数u, v, l，表示u到v有一条长度为l的边。

输出格式

共n-1行，第i行表示1号点到i+1号点的最短路。

样例输入

3 3
1 2 -1
2 3 -1
3 1 2

样例输出

-1
-2

数据规模与约定

对于10%的数据，n = 2，m = 2。

对于30%的数据，n <= 5，m <= 10。

对于100%的数据，1 <= n <= 20000，1 <= m <= 200000，-10000 <= l <= 10000，保证从任意顶点都能到达其他所有顶点。

很多时候，给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。简洁起见，我们约定加权有向图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环（SPFA无法处理带负环的图）。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。定理: 只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <queue>using namespace std;const int inf = 1<<30;const int L = 200000;struct Edges{    int x,y,w,next;} e[L<<2];int head[L];int dis[L];int vis[L];int cnt[L];void AddEdge(int x,int y,int w,int k){    e[k].x = x,e[k].y = y,e[k].w = w,e[k].next = head[x],head[x] = k;}int relax(int u,int v,int c){    if(dis[v]>dis[u]+c)    {        dis[v] = dis[u]+c;        return 1;    }    return 0;}int SPFA(int src){    int i;    memset(cnt,0,sizeof(cnt));    dis[src] = 0;    queue<int> Q;    Q.push(src);    vis[src] = 1;    cnt[src]++;    while(!Q.empty())    {        int u,v;        u = Q.front();        Q.pop();        vis[u] = 0;        for(i = head[u]; i!=-1; i=e[i].next)        {            v = e[i].y;            if(relax(u,v,e[i].w)==1 && !vis[v])//v节点的最短距离更新了，但不在队列中，就把该顶点加入队列中。            {                Q.push(v);                vis[v] = 1;            }        }    }}int main(){    int t,n,m;    int i,j;    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(e,-1,sizeof(e));    for(i = 1; i<=n; i++)    {        dis[i] = inf;        vis[i] = 0;        head[i] = -1;    }    for(i = 0; i<m; i++)    {        int x,y,w;        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);        AddEdge(x,y,w,i);    }    SPFA(1);    for(i = 2; i<=n; i++)        printf("%d\n",dis[i]);    return 0;}

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define MAXN 1000000#define INF  1<<30int head[MAXN],m=0;//构造邻接表 struct EDGE{ int to,next,val;}edge[MAXN];int d[MAXN];//到每个顶点的最短距离 int N;//顶点的个数 int V;//边的条数 struct node{ int id;//顶点  int val; node(int id,int val):id(id),val(val){} bool operator <(const node &x) const {    return val>x.val; }};void add_edge(int u,int v,int val){  edge[m].to=v;  edge[m].val=val;  edge[m].next=head[u];  head[u]=m++;}void dijkstra(int s){  int i;  for(i=1;i<=N;i++)     d[i]=INF;  d[s]=0;  priority_queue<node> q;  q.push(node(s,0));  while(!q.empty())  {  int u,v,val;  u=q.top().id;  val=q.top().val;  q.pop();  int i;  for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)  { v=edge[i].to; if(d[v]>d[u]+edge[i].val)   {  d[v]=d[u]+edge[i].val;  q.push(node(v,d[v]));       }      }  }} int main(){      scanf("%d%d",&N,&V);   fill(head,head+N+1,-1);  int i;      for(i=0;i<V;i++)   {   int a,b,d;   scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);   add_edge(a,b,d);  // add_edge(b,a,d);  }  dijkstra(1);  for(i=2;i<=N;i++)    printf("%d\n",d[i]);  //system("pause");  return 0;}

  算法提高 道路和航路  

时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB

      

锦囊1

使用最短路径。

锦囊2

将城镇看成结点，将公路和航路看成边，使用带堆优化的Dijkstra来求到每个城镇的最短路。

问题描述

农夫约翰正在针对一个新区域的牛奶配送合同进行研究。他打算分发牛奶到T个城镇（标号为1..T），这些城镇通过R条标号为（1..R）的道路和P条标号为（1..P）的航路相连。

每一条公路i或者航路i表示成连接城镇A_i（1<=A_i<=T）和B_i（1<=B_i<=T）代价为C_i。每一条公路，C_i的范围为0<=C_i<=10,000；由于奇怪的运营策略，每一条航路的C_i可能为负的，也就是-10,000<=C_i<=10,000。

每一条公路都是双向的，正向和反向的花费是一样的，都是非负的。

每一条航路都根据输入的A_i和B_i进行从A_i->B_i的单向通行。实际上，如果现在有一条航路是从A_i到B_i的话，那么意味着肯定没有通行方案从B_i回到A_i。

农夫约翰想把他那优良的牛奶从配送中心送到各个城镇，当然希望代价越小越好，你可以帮助他嘛？配送中心位于城镇S中（1<=S<=T）。

输入格式

输入的第一行包含四个用空格隔开的整数T，R，P，S。

接下来R行，描述公路信息，每行包含三个整数，分别表示A_i，B_i和C_i。

接下来P行，描述航路信息，每行包含三个整数，分别表示A_i，B_i和C_i。

输出格式

输出T行，分别表示从城镇S到每个城市的最小花费，如果到不了的话输出NO PATH。

样例输入

6 3 3 4
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10

样例输出

NO PATH
NO PATH
5
0
-95
-100

数据规模与约定

对于20%的数据，T<=100，R<=500，P<=500；

对于30%的数据，R<=1000，R<=10000，P<=3000；

对于100%的数据，1<=T<=25000，1<=R<=50000，1<=P<=50000。

这个题也是采用SPFA的算法，代码如下：(90分  两个测试点超时)

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define MAXN 200000#define INF  1<<30struct EDGE{ int to,next,dis;}edge[MAXN];int m=1;int d[25000];int head[25000];int vis[25000];//用来判断更新过的顶点是不是已经在队列中了void add_edge(int u,int v,int dis)//用邻接表来保存边{  edge[m].to=v;  edge[m].dis=dis;  edge[m].next=head[u];  head[u]=m++;} void SPFA(int s)//SPFA算法的模板，记住就行了{  vis[s]=1;  d[s]=0;  queue<int>  q;     q.push(s); int i; while(!q.empty()) {      int u,v;      u=q.front();      q.pop();      vis[u]=0;      for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)          {       v=edge[i].to;       if(d[u]!=INF&&d[v]>d[u]+edge[i].dis)       {              d[v]=d[u]+edge[i].dis;              if(!vis[v])             {      vis[v]=1;      q.push(v);     }           }      }     } }/*void SPFA(int s){ d[s]=0; int q[25000000]; q[0]=s; int front=0; int end=1; vis[s]=1; while(front<end) {  int u,v;  u=q[front];  vis[u]=0;  front++;  int i;  for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)  { v=edge[i].to; if(d[u]!=INF&&d[v]>d[u]+edge[i].dis) {  d[v]=d[u]+edge[i].dis;  if(!vis[v])     {   vis[v]=1;   q[end++]=v;    }  }  } }}*/int main(){ int T,R,P,S; scanf("%d%d%d%d",&T,&R,&P,&S); int i; for(i=0;i<=T;i++)    {        head[i]=-1;        vis[i]=0;        d[i]=INF;       }       int x,y,z;     for(i=1;i<=R;i++)       {        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        add_edge(x,y,z);        add_edge(y,x,z);       }      for(i=1;i<=P;i++)       {        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        add_edge(x,y,z);       }       SPFA(S);       for(i=1;i<=T;i++)          if(d[i]==INF)            printf("NO PATH\n");          else            printf("%d\n",d[i]);          //  system("pause");            return 0;}

如果采用dijkstra  75分 5个测试点超时

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<queue>using namespace std;#define MAXN 1000000#define INF  1<<30//int head[MAXN],m=0;//构造邻接表 struct EDGE{ int to,next,val;}edge[MAXN];int d[25000];int head[25000],m=1;int vis[25000];//int d[MAXN];//到每个顶点的最短距离 int N;//顶点的个数 int V;//边的条数 struct node{ int id;//顶点  int val; node(int id,int val):id(id),val(val){} bool operator <(const node &x) const {    return val>x.val; }};void add_edge(int u,int v,int val){  edge[m].to=v;  edge[m].val=val;  edge[m].next=head[u];  head[u]=m++;}void dijkstra(int s){  int i;  for(i=1;i<=N;i++)     d[i]=INF;  d[s]=0;  priority_queue<node> q;  q.push(node(s,0));  while(!q.empty())  {  int u,v,val;  u=q.top().id;  val=q.top().val;  q.pop();  int i;  for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)  { v=edge[i].to; if(d[v]>d[u]+edge[i].val)   {  d[v]=d[u]+edge[i].val;  q.push(node(v,d[v]));       }      }  }} int main(){     /* scanf("%d%d",&N,&V);   fill(head,head+N+1,-1);  int i;      for(i=0;i<V;i++)   {   int a,b,d;   scanf("%d%d%d",&a,&b,&d);   add_edge(a,b,d);  // add_edge(b,a,d);  }  dijkstra(1);  for(i=2;i<=N;i++)    printf("%d\n",d[i]);  system("pause");  return 0;*/  int T,R,P,S; scanf("%d%d%d%d",&T,&R,&P,&S); //scanf("%d%d",&T,&R); int i; for(i=0;i<=T;i++)    {        head[i]=-1;        vis[i]=0;        d[i]=INF;       }       int x,y,z;     for(i=1;i<=R;i++)       {        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        add_edge(x,y,z);        add_edge(y,x,z);       }       for(i=1;i<=P;i++)       {        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        add_edge(x,y,z);       }      dijkstra(S);       for(i=1;i<=T;i++)          if(d[i]==INF)            printf("NO PATH\n");          else            printf("%d\n",d[i]);            //system("pause");            return 0;}

2.floyd算法（计算任意两点间的最短距离）

时间复杂度为O(N^3); N为顶点的数量

核心代码

for ( int i = 0; i < 节点个数; ++i ){for ( int j = 0; j < 节点个数; ++j ){for ( int k = 0; k < 节点个数; ++k ){if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] ){// 找到更短路径Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];}}}}

应用的例子如下

Cow Contest

时间限制：1000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：4

描述

N (1 ≤ N ≤ 100) cows, conveniently numbered 1..N, are participating in a programming contest. As we all know, some cows code better than others. Each cow has a certain constant skill rating that is unique among the competitors.

The contest is conducted in several head-to-head rounds, each between two cows. If cow A has a greater skill level than cow B (1 ≤ A ≤ N; 1 ≤ B ≤ N; A ≠ B), then cow A will always beat cow B.

Farmer John is trying to rank the cows by skill level. Given a list the results of M (1 ≤ M ≤ 4,500) two-cow rounds, determine the number of cows whose ranks can be precisely determined from the results. It is guaranteed that the results of the rounds will not be contradictory.

输入

* Line 1: Two space-separated integers: N and M
* Lines 2..M+1: Each line contains two space-separated integers that describe the competitors and results (the first integer, A, is the winner) of a single round of competition: A and B

There are multi test cases.The input is terminated by two zeros.The number of test cases is no more than 20.

输出

For every case:
* Line 1: A single integer representing the number of cows whose ranks can be determined

样例输入

5 54 34 23 21 22 50 0

#include <iostream>#include <string.h>#include <cstdio>using namespace std;#define MAX 0x7fffffffconst int N=110;int dis[N][N];int n,m;void floyd(){for(int k=1;k<=n;++k){for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=1;j<=n;++j){if(dis[i][k]!=MAX&&dis[k][j]!=MAX&&dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]){  dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];}}}}}int main(){//freopen("1.txt","r",stdin);while(~scanf("%d%d",&n,&m)&&n&&m){for(int i=1;i<=n;++i){  for(int j=1;j<=n;++j)  dis[i][j]=MAX;}  int x,y;  while(m--){   scanf("%d%d",&x,&y);   dis[x][y]=1;  }  floyd();  int ans=0;  for(int i=1;i<=n;++i){  for(int j=1;j<=n;++j){if(j==i)continue;    if(dis[i][j]==MAX&&dis[j][i]==MAX){ans++;break;}  }  }  printf("%d\n",n-ans);}  return 0;}