极值问题

题目：

已知m、n为整数，且满足下列两个条件：
① m、n∈1，2,...,K,（1≤K≤10^9）

② (n^ 2－mn－m^2)^2＝1
编一程序，对给定K，求一组满足上述两个条件的m、n，并且使m^2＋n^2的值最大。例如，若K＝1995，则m＝987，n＝1597，则m、n满足条件，且可使m^2＋n^2的值最大。

输入

输入仅一行，K的值。

输出

输出仅一行，m^2＋n^2的值。

样例输入

1995

样例输出

3524578

题目字数不多，但是条件2看起来貌似有点复杂，但实际上，它也是个突破口；

由条件2：(n^ 2－mn－m^2)^2＝1

故而：      (m^2 + mn－ n^2)^2＝1

继续化简：m^2＋mn－n^2＝(m＋n)^2－mn－2n^2 

                                                ＝(m＋n)^2－(m＋n)n－n^2
即：          (n^2－mn－m^2)^2＝[(m＋n)^2－(m＋n)n－n^2]^2

我们观察上述最后的等式，我们可以发现

n->m+n (第一个平方)

m->n,n->m+n（中间的因式）

m->n（第二个平方）

这时我们发现这是我们熟悉的斐波那契数列，这样，这一题的突破口很明显了，m、n都是在K（包括K）之内的最大的两个满足斐波那契数列的数；

另外由于1≤K≤10^9可能m、n数字较大，即会发生数字超限，用两个数组进行平方运算以及相加运算；

#include <iostream>using namespace std;void Add(int *arrm, int *arrn, int len)  //大整数相加{    int *arr = new int[len + 1];    for(int i = 0; i < len + 1; i++)        arr[i] = 0;    for(int i = 0; i < len; i++)    {        arr[i] += arrm[i] + arrn[i];        if(arr[i] >= 10)  //进位        {            arr[i + 1] += arr[i] / 10;            arr[i] %= 10;        }    }    int index = len;    while(!arr[index])    {        index--;    }    for(int i = index; i >= 0; i--)        cout << arr[i];    cout << endl;}void Mul(int *arr, int *arr1, int len1)  //大整数相乘{    for(int i = 0; i < len1; i++)    {        for(int j = 0; j < len1; j++)        {            arr[i + j] += arr1[i] * arr1[j];            if(arr[i + j] >= 10)  //进位            {                arr[i + j + 1] += arr[i + j] / 10;                arr[i + j] %= 10;            }        }    }}void BigData(int m, int n){    int num1 = m;    int num2 = n;    int *arr1 = new int[10];    int *arr2 = new int[10];    int len1 = 0, len2 = 0;    while(num1)  //数字数组化    {        arr1[len1++] = num1 % 10;        num1 /= 10;    }    while(num2)    {        arr2[len2++] = num2 % 10;        num2 /= 10;    }    int len;    if(len1 > len2)        len = 2 * len1;    else        len = 2 * len2;    int *arrm = new int[len];    int *arrn = new int[len];    for(int i = 0; i < len; i++)    {        arrm[i] = 0;        arrn[i] = 0;    }    Mul(arrm, arr1, len1);  //大整数相乘    Mul(arrn, arr2, len2);    Add(arrm, arrn, len);  //相加}void Fibo(int K){    if(K < 1)        return;    if(K == 1)    {        cout << 2 << endl;        return;    }    int m = 1, n = 1;    int p = m + n;    while(p <= K)  //寻找满足条件的两个Fibonacci数    {        m = n;        n = p;        p = m + n;    }    if(m < 10000 || n < 10000)        cout << m * m + n * n << endl;    else        BigData(m, n);}int main(){    int K;    cin >> K;    Fibo(K);    return 0;}

O(∩_∩)O欢迎指教....