算法（一）：Josephus问题

Josephus是一个著名的犹太历史学家，他有过这样的故事（来自互动百科，http://www.baike.com/wiki/Josephus）：在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3个人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。Josephus想了一个办法，帮助自己和朋友逃过了这场死亡游戏。

由这个故事衍生出了一个著名的问题，叫Josephus问题：假定有n个人，编号为1到n，由第1个人开始报数，每报数到m的人就出列，直到剩下最后一个人，求最后一个人的编号，即：
     输入：编号为1到n的n长度数组，参数m
     输出：幸存者编号f(n)
在数学上，通常要得到一个复杂问题的解，可以从一些小的特例出发，再看这些特例的结论能否得到推广，因此，我们可以从m为2的情况开始。

我们先看一个m为2的情况下的特例，我们假定n = 2^k，由此得到：
     第一次遍历后，剩下n/2个人；
     第二次遍历后，剩下n/4个人；
     。。。。。。
     第k次遍历后，剩下1个人，这个人的编号为1（因为每次遍历淘汰的都是偶数位的人，编号为1的人始终处于奇数位）。
这样，当n为2的k次方的情况下，我们可以得到：f(n) = 1。
那么，接下来看看能否将这个特例推广开来。当n不为2的k次方的情况下，我们可以将n表示为：n = 2^k + u，并且u >= 0且u < 2^k，这样，我们很容易得到：n - u = 2^k，由此，我们可以推断：当n减少了u后，问题可以规约到n = 2^k的情况。
由于遍历中每2个人就会淘汰一个人，因此要减少u个人，需要遍历2u个人，那么我们从2u + 1开始，剩下的数将是2^k，并且：
     由于：u < 2^k
     所以：2u < 2^k + u，即2u < n
     因此，2u + 1 <= n
由此，可以得出结论：当m为2时，f(n) = 2u + 1 （u = n - 2^k，并且u >= 0且u < 2^k）。

接下来，我们来看m为2的结论能够得到推广，进一步来看m为3的情况。我们假定n = 3^k，则：
     第一次遍历后，剩下(2/3)*n个人；
     第二次遍历后，剩下(2/3)^2*n个人；
     。。。。。。
     第k次遍历后，剩下(2/3)^k*n个人，带入n = 3^k，得到剩下2^k个人。
这并没有达到我们希望的效果，也就是当m为2时得到的结论并不能推广到m为3时的情况，我们需要考虑其它办法。

我们在每个人通过（未淘汰）之后，就为它分配一个新编号，该新编号为当前最大值加1，这样，我们就能得到：1变为n+1，2变为n+2，3被淘汰，4变为n+3，5变为n+4，6被淘汰，。。。。。。，3k+1变为n+2k+1，3k+2变为n+2k+2，3k+3被淘汰，。。。。。。，3n被淘汰（或者幸存）。为什么最后一个编号是3n？因为每数3个人淘汰一个人，n个人数3n个人则全部淘汰。
看下面的一个例子：

这样，如果我们通过最后一个编号3n，找到3n在上一轮中的值，那么我们就有可能一直向上，找到3n最初的值，即f(n)。
在开始之前，先给出几个定义：
 1）floor(x)：表示x的下限，如 floor(3.15) = 3；
 2）ceil(x)：表示x的上限，如 ceil(3.15) = 4，
 3）prev(n)：表示n上一轮中的值。
我们假定当前的值为N，如果N>n，则N必然存在prev(N)，且：N = n + 2k + 1 或者 N = n + 2k +2
由此，我们得到：k = floor((N - n - 1) / 2)。
而由先前的编号分配方式我们得到：prev(N)=3k + 1 或者 prev(N)=3k + 2。
如果我们定义：N = n + 2k + a（a为1或者2），则：
 prev(N) = 3k + a
               = 3k + (N - n - 2k)
               = k + N - n
               = floor((N - n - 1) / 2) + N - n。
我们就得到了prev(N)的一个表达式，由此我们从3n出发，就可以：
     N = 3n
     while N > n do N = floor((N - n - 1) / 2) + N - n
     f(n) = N
这个表达式已经可以保证在n很大的情况下快速计算出f(n)，但它还不够简单，我们可以通过一些技巧来简化它。

令：D = 3n + 1 - N
我们考虑用D来替换N，由于N是从3n出发，直到小于n，那么D就应该是从1出发，直到2n（因为当N=3n时，D=1，而当N=n+1时，D=2n），我们假定当前N对应的值为D（D = 3n + 1 - N），则：
 prev(D) = 3n + 1 - prev(N)
               = 3n + 1 - (floor((N - n - 1) / 2) + N - n)
               = 3n + 1 - (floor(((3n + 1 - D) - n - 1) / 2) + (3n + 1 - D) - n)
               = n + D - floor((2n - D) / 2)
               = D - floor(-D / 2)
               = D + ceil(D / 2) 
               = ceil(3/2 * D)。
（注：上面用到了一个技巧 floor(-x) = -ceil(x))
这样，我们得到：
     D = 1
     while D <= 2n do D = ceil(3/2 * D)
     f(n) = 3n + 1 - D
啊哈，一个更简单的表达式出现了。

我们是否能将m为3的结论推广到m为任意值的场景呢？
当m为任意值时，根据上面同样的定义方式，我们能够得到：1变为n+1，2变为n+2，。。。，m-1变为n+m-1，m淘汰，。。。。。。，mk+1变为n+(m-1)k+1，mk+2变为n+(m-1)k+2，。。。，mk+m-1变为n+(m-1)k+m-1，mk+m被淘汰，。。。。。。，mn被淘汰（或者幸存）。
根据同样的推导过程我们能够得到（有兴趣的朋友可以自己推导一下）：
     D = 1
     while D <= (m - 1)n do D = ceil(m/(m-1) * D)
     f(n) = mn + 1 - D
到这里整个问题结束。

参考资料：
     《concrete mathematics》second edition