堆排序
来源：互联网 发布：邮差包推荐 知乎 编辑：程序博客网 时间：2024/06/11 10:54
出自：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3602162.html
概要
本章介绍排序算法中的堆排序。
目录
1. 堆排序介绍
2. 堆排序图文说明
3. 堆排序的时间复杂度和稳定性
4. 堆排序实现
4.1 堆排序C实现
4.2 堆排序C++实现
4.3 堆排序Java实现
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更多排序和算法请参考：数据结构与算法系列 目录
堆排序介绍
堆排序(Heap Sort)是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。
因此，学习堆排序之前，有必要了解堆！若读者不熟悉堆，建议先了解堆(建议可以通过二叉堆，左倾堆，斜堆，二项堆或斐波那契堆等文章进行了解)，然后再来学习本章。
我们知道，堆分为"最大堆"和"最小堆"。最大堆通常被用来进行"升序"排序，而最小堆通常被用来进行"降序"排序。
鉴于最大堆和最小堆是对称关系，理解其中一种即可。本文将对最大堆实现的升序排序进行详细说明。
最大堆进行升序排序的基本思想：
① 初始化堆：将数列a[1...n]构造成最大堆。
② 交换数据：将a[1]和a[n]交换，使a[n]是a[1...n]中的最大值；然后将a[1...n-1]重新调整为最大堆。 接着，将a[1]和a[n-1]交换，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然后将a[1...n-2]重新调整为最大值。 依次类推，直到整个数列都是有序的。
下面，通过图文来解析堆排序的实现过程。注意实现中用到了"数组实现的二叉堆的性质"。
在第一个元素的索引为 0 的情形中：
性质一：索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
性质二：索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
性质三：索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);
例如，对于最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}而言：索引为0的左孩子的所有是1；索引为0的右孩子是2；索引为8的父节点是3。
堆排序图文说明
堆排序(升序)代码
/* * (最大)堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。 * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */void maxheap_down(int a[], int start, int end){ int c = start; // 当前(current)节点的位置 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小 for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) { // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 if ( l < end && a[l] < a[l+1]) l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1] if (tmp >= a[l]) break; // 调整结束 else // 交换值 { a[c] = a[l]; a[l]= tmp; } }}/* * 堆排序(从小到大) * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * n -- 数组的长度 */void heap_sort_asc(int a[], int n){ int i; // 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。 for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) maxheap_down(a, i, n-1); // 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素 for (i = n - 1; i > 0; i--) { // 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。 swap(a[0], a[i]); // 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。 // 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。 maxheap_down(a, 0, i-1); }}
heap_sort_asc(a, n)的作用是：对数组a进行升序排序；其中，a是数组，n是数组长度。
heap_sort_asc(a, n)的操作分为两部分：初始化堆 和 交换数据。
maxheap_down(a, start, end)是最大堆的向下调整算法。
下面演示heap_sort_asc(a, n)对a={20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}, n=11进行堆排序过程。下面是数组a对应的初始化结构：
1 初始化堆
在堆排序算法中，首先要将待排序的数组转化成二叉堆。
下面演示将数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}转换为最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}的步骤。
1.1 i=11/2-1，即i=4
上面是maxheap_down(a, 4, 9)调整过程。maxheap_down(a, 4, 9)的作用是将a[4...9]进行下调；a[4]的左孩子是a[9]，右孩子是a[10]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[10])和a[4]交换。
1.2 i=3
上面是maxheap_down(a, 3, 9)调整过程。maxheap_down(a, 3, 9)的作用是将a[3...9]进行下调；a[3]的左孩子是a[7]，右孩子是a[8]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[8])和a[4]交换。
1.3 i=2
上面是maxheap_down(a, 2, 9)调整过程。maxheap_down(a, 2, 9)的作用是将a[2...9]进行下调；a[2]的左孩子是a[5]，右孩子是a[6]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[5])和a[2]交换。
1.4 i=1
上面是maxheap_down(a, 1, 9)调整过程。maxheap_down(a, 1, 9)的作用是将a[1...9]进行下调；a[1]的左孩子是a[3]，右孩子是a[4]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[3])和a[1]交换。交换之后，a[3]为30，它比它的右孩子a[8]要大，接着，再将它们交换。
1.5 i=0
上面是maxheap_down(a, 0, 9)调整过程。maxheap_down(a, 0, 9)的作用是将a[0...9]进行下调；a[0]的左孩子是a[1]，右孩子是a[2]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[2])和a[0]交换。交换之后，a[2]为20，它比它的左右孩子要大，选择较大的孩子(即左孩子)和a[2]交换。
调整完毕，就得到了最大堆。此时，数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}也就变成了{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}。
第2部分 交换数据
在将数组转换成最大堆之后，接着要进行交换数据，从而使数组成为一个真正的有序数组。
交换数据部分相对比较简单，下面仅仅给出将最大值放在数组末尾的示意图。
上面是当n=10时，交换数据的示意图。
当n=10时，首先交换a[0]和a[10]，使得a[10]是a[0...10]之间的最大值；然后，调整a[0...9]使它称为最大堆。交换之后：a[10]是有序的！
当n=9时， 首先交换a[0]和a[9]，使得a[9]是a[0...9]之间的最大值；然后，调整a[0...8]使它称为最大堆。交换之后：a[9...10]是有序的！
...
依此类推，直到a[0...10]是有序的。
堆排序的时间复杂度和稳定性
堆排序时间复杂度
堆排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
堆排序是采用的二叉堆进行排序的，二叉堆就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的定义，它的深度至少是lg(N+1)。最多是多少呢？由于二叉堆是完全二叉树，因此，它的深度最多也不会超过lg(2N)。因此，遍历一趟的时间复杂度是O(N)，而遍历次数介于lg(N+1)和lg(2N)之间；因此得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。
堆排序稳定性
堆排序是不稳定的算法，它不满足稳定算法的定义。它在交换数据的时候，是比较父结点和子节点之间的数据，所以，即便是存在两个数值相等的兄弟节点，它们的相对顺序在排序也可能发生变化。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！
堆排序实现
下面给出堆排序的三种实现：C、C++和Java。这三种实现的原理和输出结果都是一样的，每一种实现中都包括了"最大堆对应的升序排列"和"最小堆对应的降序排序"。
堆排序C实现
实现代码(heap_sort.c)
1 /** 2 * 堆排序：C 语言 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2014/03/12 6 */ 7 8 #include <stdio.h> 9 10 // 数组长度 11 #define LENGTH(array) ( (sizeof(array)) / (sizeof(array[0])) ) 12 #define swap(a,b) (a^=b,b^=a,a^=b) 13 14 /* 15 * (最大)堆的向下调整算法 16 * 17 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 18 * 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。 19 * 20 * 参数说明： 21 * a -- 待排序的数组 22 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) 23 * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) 24 */ 25 void maxheap_down(int a[], int start, int end) 26 { 27 int c = start; // 当前(current)节点的位置 28 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 29 int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小 30 for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) 31 { 32 // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 33 if ( l < end && a[l] < a[l+1]) 34 l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1] 35 if (tmp >= a[l]) 36 break; // 调整结束 37 else // 交换值 38 { 39 a[c] = a[l]; 40 a[l]= tmp; 41 } 42 } 43 } 44 45 /* 46 * 堆排序(从小到大) 47 * 48 * 参数说明： 49 * a -- 待排序的数组 50 * n -- 数组的长度 51 */ 52 void heap_sort_asc(int a[], int n) 53 { 54 int i; 55 56 // 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。 57 for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) 58 maxheap_down(a, i, n-1); 59 60 // 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素 61 for (i = n - 1; i > 0; i--) 62 { 63 // 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。 64 swap(a[0], a[i]); 65 // 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。 66 // 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。 67 maxheap_down(a, 0, i-1); 68 } 69 } 70 71 /* 72 * (最小)堆的向下调整算法 73 * 74 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 75 * 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。 76 * 77 * 参数说明： 78 * a -- 待排序的数组 79 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) 80 * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) 81 */ 82 void minheap_down(int a[], int start, int end) 83 { 84 int c = start; // 当前(current)节点的位置 85 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 86 int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小 87 for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) 88 { 89 // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 90 if ( l < end && a[l] > a[l+1]) 91 l++; // 左右两孩子中选择较小者 92 if (tmp <= a[l]) 93 break; // 调整结束 94 else // 交换值 95 { 96 a[c] = a[l]; 97 a[l]= tmp; 98 } 99 }100 }101 102 /*103 * 堆排序(从大到小)104 *105 * 参数说明：106 * a -- 待排序的数组107 * n -- 数组的长度108 */109 void heap_sort_desc(int a[], int n)110 {111 int i;112 113 // 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。114 for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)115 minheap_down(a, i, n-1);116 117 // 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素118 for (i = n - 1; i > 0; i--)119 {120 // 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。121 swap(a[0], a[i]);122 // 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。123 // 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。124 minheap_down(a, 0, i-1);125 }126 }127 128 void main()129 {130 int i;131 int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};132 int ilen = LENGTH(a);133 134 printf("before sort:");135 for (i=0; i<ilen; i++)136 printf("%d ", a[i]);137 printf("\n");138 139 heap_sort_asc(a, ilen); // 升序排列140 //heap_sort_desc(a, ilen); // 降序排列141 142 printf("after sort:");143 for (i=0; i<ilen; i++)144 printf("%d ", a[i]);145 printf("\n");146 }
堆排序C++实现
实现代码(HeapSort.cpp)
1 /** 2 * 堆排序：C++ 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2014/03/11 6 */ 7 8 #include <iostream> 9 using namespace std; 10 11 /* 12 * (最大)堆的向下调整算法 13 * 14 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 15 * 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。 16 * 17 * 参数说明： 18 * a -- 待排序的数组 19 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) 20 * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) 21 */ 22 void maxHeapDown(int* a, int start, int end) 23 { 24 int c = start; // 当前(current)节点的位置 25 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 26 int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小 27 for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) 28 { 29 // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 30 if ( l < end && a[l] < a[l+1]) 31 l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1] 32 if (tmp >= a[l]) 33 break; // 调整结束 34 else // 交换值 35 { 36 a[c] = a[l]; 37 a[l]= tmp; 38 } 39 } 40 } 41 42 /* 43 * 堆排序(从小到大) 44 * 45 * 参数说明： 46 * a -- 待排序的数组 47 * n -- 数组的长度 48 */ 49 void heapSortAsc(int* a, int n) 50 { 51 int i,tmp; 52 53 // 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。 54 for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) 55 maxHeapDown(a, i, n-1); 56 57 // 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素 58 for (i = n - 1; i > 0; i--) 59 { 60 // 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。 61 tmp = a[0]; 62 a[0] = a[i]; 63 a[i] = tmp; 64 // 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。 65 // 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。 66 maxHeapDown(a, 0, i-1); 67 } 68 } 69 70 /* 71 * (最小)堆的向下调整算法 72 * 73 * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 74 * 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。 75 * 76 * 参数说明： 77 * a -- 待排序的数组 78 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) 79 * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) 80 */ 81 void minHeapDown(int* a, int start, int end) 82 { 83 int c = start; // 当前(current)节点的位置 84 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 85 int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小 86 for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) 87 { 88 // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 89 if ( l < end && a[l] > a[l+1]) 90 l++; // 左右两孩子中选择较小者 91 if (tmp <= a[l]) 92 break; // 调整结束 93 else // 交换值 94 { 95 a[c] = a[l]; 96 a[l]= tmp; 97 } 98 } 99 }100 101 /*102 * 堆排序(从大到小)103 *104 * 参数说明：105 * a -- 待排序的数组106 * n -- 数组的长度107 */108 void heapSortDesc(int* a, int n)109 {110 int i,tmp;111 112 // 从(n/2-1) --> 0逐次遍历每。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。113 for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)114 minHeapDown(a, i, n-1);115 116 // 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素117 for (i = n - 1; i > 0; i--)118 {119 // 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最小的。120 tmp = a[0];121 a[0] = a[i];122 a[i] = tmp;123 // 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最小堆。124 // 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最小值。125 minHeapDown(a, 0, i-1);126 }127 }128 129 int main()130 {131 int i;132 int a[] = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80};133 int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0]));134 135 cout << "before sort:";136 for (i=0; i<ilen; i++)137 cout << a[i] << " ";138 cout << endl;139 140 heapSortAsc(a, ilen); // 升序排列141 //heapSortDesc(a, ilen); // 降序排列142 143 cout << "after sort:";144 for (i=0; i<ilen; i++)145 cout << a[i] << " ";146 cout << endl;147 148 return 0;149 }
堆排序Java实现
实现代码(HeapSort.java)
View Code
它们的输出结果：
before sort:20 30 90 40 70 110 60 10 100 50 80 after sort:10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 
