卡特兰数

栈是一种常见的数据结构，有许多关于栈的问题，其中之一就是统计元素可能的出栈序列。具体说，就是给定n个元素，依次通过一个栈，求可能的出栈序列的个数。
如果我们用直接模拟的方法，当n较大时会很费时间；

例如动态规划。令f[i,j]表示栈内有i个元素且栈外有j个元素还未进栈，那么以进栈还是出栈为决策就马上得到了转移方程f[i,j]=f[i-1,j]+f[i+1,j-1]。如此一来，很多重复的计算得以免去，效率大幅提高（时间复杂度为指数级，大概为N^２级的算法）。

另一种方法是利用组合数学求出栈序列个数，得到公式：S=C(2n,n)-C(2n,n-1);

出栈次序问题。一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

分析：对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。 

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。 

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。 

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。 

因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。 

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)

类似题目：

   其中有一个类似的题目：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

卡特兰数：

卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan数满足递归式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + .....+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)

       另类递归式：  h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

应用

组合数学中有非常多.的组合结构可以用卡塔兰数来计数。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用C_n=3和C_n=4举若干例：

• C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words: 

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数: 

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• C_n表示有n+1个叶子的二叉树的个数。                                       

• C_n表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。） 
• C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数： X代表“向右”，Y代表“向上”。
• C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。

• C_n表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) =S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。 
• C_n表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数.那么, C_n 永远不大于第n项贝尔数. C_n也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices. 
• C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。

例题：

How Many Trees?

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2757    Accepted Submission(s): 1615

Problem Description

A binary search tree is a binary tree with root k such that any node v reachable from its left has label (v) <label (k) and any node w reachable from its right has label (w) > label (k). It is a search structure which can find a node with label x in O(n log n) average time, where n is the size of the tree (number of vertices). 

Given a number n, can you tell how many different binary search trees may be constructed with a set of numbers of size n such that each element of the set will be associated to the label of exactly one node in a binary search tree? 

 

Input

The input will contain a number 1 <= i <= 100 per line representing the number of elements of the set.

 

Output

You have to print a line in the output for each entry with the answer to the previous question.

 

Sample Input

123

 

Sample Output

125

 

Source

UVA

 

AC代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#define MAX 1000#define BASE 10using namespace std;int Array[101][MAX];void Multiply(int A[],int n,int num)//大数乘法{int i;int sum=0;for(i=n-1;i>=0;i--){sum+=num*A[i];A[i]=sum%BASE;sum/=BASE;}}void Divide(int A[],int n,int num)//大数除法{int i;int div=0;for(i=0;i<n;i++){div=div*BASE+A[i];A[i]=div/num;div%=num;}}int main(int argc,char *argv[]){int i;int n;memset(Array[1],0,MAX*sizeof(int));for(i=2,Array[1][MAX-1]=1;i<101;i++)//高坐标存放大数低位{memcpy(Array[i],Array[i-1],MAX*sizeof(int));//h[i]=h[i-1];Multiply(Array[i],MAX,4*i-2);               //h[i]*=(4i-2);Divide(Array[i],MAX,i+1);                   //h[i]/=(i+1)}while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(i=0;i<MAX;i++){if(Array[n][i]!=0)break;}printf("%d",Array[n][i]);// 输出第一个非零的数i++;for(;i<MAX;i++)printf("%d",Array[n][i]);printf("\n");}return 0;}