最大子串和

又一个经典问题，对于一个包含负值的数字串array[1...n]，要找到他的一个子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i...j]的和最大。（array[]大概有1百万个数）

#include<stdio.h>int main(){    int t,n,x,i,j,sum,max;    scanf("%d",&t);    for(i=1;i<=t;i++){        scanf("%d",&n);        max=-101;        sum=0;        for(j=1;j<=n;j++){            scanf("%d",&x);            sum+=x;            if(sum>max)                max=sum;            if(sum<0)                sum=0;        }        printf("%d\n",max);    }    return 0;}

总结：Kadane算法。（Kadane算法正确性的证明以及解题思路详见：最大子串和）

（1）子串和子序列之间的区别。子串是指数组中连续的若干个元素，而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法，则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看，如何在线性时间内解决最大子串和问题。

（2）Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。（算法思想看不懂的话，就跟着程序走一遍，读完程序后就可以理解这个算法了）。

（3）当全部元素均为负数时，此写法依然成立，此时最大的子串和就是全部元素中的最大值。

（2014.7.7）今天在网上浏览最大子矩阵和的时候，又看到了一种最大子串和的解释，而且讲的还不错： 最大子矩阵和、最大子串和问题

1、直接穷举法。当n很大时，时间复杂度太高，不可行（需改进）   （这里就不再写代码了）

2、带记忆的递推法。时间复杂度较第一种方法已经有了很大的改进，但是依然比较高（当n特别大时），时间复杂度是n*n（还需改进）；还有一点就是边界初始化问题，见注释信息（b[-1]）    （附上此种方法代码，依然超时）

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int a[1000005],b[1000005]; //a[]为原数组，b[j]为a[0]到a[j]的和int main(){    int t,n,i,j,sum,max;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d",&n);        for(i=0;i<n;i++)            scanf("%d",&a[i]);        b[0]=a[0];        for(i=1;i<n;i++)            b[i]=b[i-1]+a[i];        max=-101;        for(i=0;i<n;i++)            for(j=i;j<n;j++){                sum=b[j]-b[i-1]; //语法上没有错误，b[-1]也被访问到了，并参与了运算                if(sum>max)                    max=sum;            }        printf("%d\n",max);    }    return 0;}

3、DP。下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况：

(1) 最大子段一直连续到a[j]    (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。

由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]} ，所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n} 。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;int a[1000005];int maxSubArray(int a[],int n){    int b=0,sum=-10000000;  //sum=INT_MIN ，INT_MIN包含在#include<climits>表示无穷小（相应的也有INT_MAX）    for(int i=0;i<n;i++){        if(b>0)            b+=a[i];        else            b=a[i];        if(b>sum)            sum=b;    }    return sum;}int main(){    int t,n,i;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d",&n);        for(i=0;i<n;i++)            scanf("%d",&a[i]);        printf("%d\n",maxSubArray(a,n));    }    return 0;}

就个人来看，感觉第三种DP跟上面的Kadane算法好像是一样的。恩,,,,,,,,,  再好好琢磨琢磨，体会体会。。。。。