最大子串和

Description
Given a sequence a[1],a[2],a[3]……a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.
分析：
一个经典问题，对于一个包含负值的数字串array[1…n]，要找到他的一个子串array[i…j]（0<=i<=j<=n），使得在array的所有子串中，array[i…j]的和最大。
这里我们需要注意子串和子序列之间的区别。子串是指数组中连续的若干个元素，而子序列只要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。如果使用穷举法，则至少需要O(n^2)的时间才能得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看，如何在线性时间内解决最大子串和问题。

要说明Kadane算法的正确性，需要两个结论。首先，对于array[1…n]，如果array[i…j]就是满足和最大的子串，那么对于任何k(i<=k<=j)，我们有array[i…k]的和大于0。因为如果存在k使得array[i…k]的和小于0，那么我们就有array[k+1…j]的和大于array[i…j]，这与我们假设的array[i…j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我们可以将数组从左到右分割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于所有子串array[i…j]和任意k(i<=k<=j), 有array[i…k]的和大于0。此时我们要说明的是，满足条件的和最大子串，只能是上述某个子串的前缀，而不可能跨越多个子串。我们假设array[p…q]，是array的和最大子串，且array[p…q]，跨越了array[i…j]，array[j+1…k]。根据我们的分组方式，存在 i<=m<=j 使得array[i…m]的和是array[i…j]中的最大值，存在 j+1<=n<=k使得array[j+1…n]的和是array[j+1…k]的最大值。由于array[m+1…j]使得array[i…j]的和小于0。此时我们可以比较array[i…m]和array[j+1…n]，如果array[i…m]的和大于array[j+1…n]则array[i…m]>array[p…q]，否array[j+1…n]>array[p…q]，无论谁大，我们都可以找到比array[p…q]和更大的子串，这与我们的假设矛盾，所以满足条件的array[p…q]不可能跨越两个子串。对于跨越更多子串的情况，由于各子串的和均为负值，所以同样可以证明存在和更大的非跨越子串的存在。对于单元素和最大的特例，该结论也适用。

根据上述结论，我们就得到了Kadane算法的执行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组分割为满足上述条件的子串，同时得到各子串的最大前缀和，然后比较各子串的最大前缀和，得到最终答案。我们以array={−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历，可以将数组分割为如下3个子串（-2），（1，-3），（4，-1，2，1，-5，4），这里对于（-2）这样的情况，单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

参考 http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6859677

#include<iostream>  #define MAXSIZE 100  using namespace std;  int MaxSum(int[],int);  int main(void)  {      int n;      int array[MAXSIZE];      while(cin>>n)      {          for(int i=0;i<n;i++)          {              cin>>array[i];          }          cout<<MaxSum(array,n)<<endl;      }      return 0;  }  int MaxSum(int array[],int n)  {      int b=0;      int sum=0;      for(int i=0;i<n;i++)      {          if(b>0)          {              b+=array[i];          }          else          {              b=array[i];          }          if(b>sum)          {              sum=b;          }      }      return sum;  }